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Theorem dvexp 12844

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4019	. . . 4
3	2	oveq2d 5790	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5781	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5790	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5792	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4019	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2154	. 2
10		oveq2 5782	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4019	. . . 4
12	11	oveq2d 5790	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5781	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5790	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5792	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4019	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2154	. 2
19		oveq2 5782	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4019	. . . 4
21	20	oveq2d 5790	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5781	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5790	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5792	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4019	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2154	. 2
28		oveq2 5782	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4019	. . . 4
30	29	oveq2d 5790	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5781	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5790	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5792	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4019	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2154	. 2
37		exp1 10299	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4014	. . . . 5
39		mptresid 4873	. . . . 5
40	38, 39	eqtri 2160	. . . 4
41	40	oveq2i 5785	. . 3
42		1m1e0 8789	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5785	. . . . . . . . 9
44		exp0 10297	. . . . . . . . 9
45	43, 44	syl5eq 2184	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5790	. . . . . . 7
47		1t1e1 8872	. . . . . . 7
48	46, 47	syl6eq 2188	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4014	. . . . 5
50		fconstmpt 4586	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2163	. . . 4
52		dvid 12831	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2163	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2163	. 2
55		nncn 8728	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 7968	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 409	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 8984	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10311	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 288	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 7791	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 7784	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2176	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4018	. . . . . 6
72		cnex 7744	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 7786	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9018	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10311	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 7786	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2140	. . . . . . . . 9
81	39	eqcomi 2143	. . . . . . . . . 10
82	81	a1i 9	. . . . . . . . 9
83	73, 78, 79, 80, 82	offval2 5997	. . . . . . . 8
84	56, 77, 79	mulassd 7789	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		expm1t 10321	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
86	85	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$
87	86	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	84, 87	eqtr4d 2175	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	mpteq2dva 4018	. . . . . . . 8
90	83, 89	eqtrd 2172	. . . . . . 7
91	52, 50	eqtri 2160	. . . . . . . . . 10
92	91	a1i 9	. . . . . . . . 9
93		eqidd 2140	. . . . . . . . 9
94	73, 62, 66, 92, 93	offval2 5997	. . . . . . . 8
95	68	mpteq2dva 4018	. . . . . . . 8
96	94, 95	eqtrd 2172	. . . . . . 7
97	73, 74, 66, 90, 96	offval2 5997	. . . . . 6
98	71, 97	eqtr4d 2175	. . . . 5
99		oveq1 5781	. . . . . . 7
100	99	oveq1d 5789	. . . . . 6
101	100	eqcomd 2145	. . . . 5
102	98, 101	sylan9eq 2192	. . . 4 $/\$
103		cnelprrecn 7756	. . . . . 6
104	103	a1i 9	. . . . 5 $/\$
105		ssidd 3118	. . . . 5 $/\$
106	66	fmpttd 5575	. . . . . 6
107	106	adantr 274	. . . . 5 $/\$
108		f1oi 5405	. . . . . 6
109		f1of 5367	. . . . . 6
110	108, 109	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
111		simpr 109	. . . . . . 7 $/\$
112	111	dmeqd 4741	. . . . . 6 $/\$
113	78	fmpttd 5575	. . . . . . . 8
114	113	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$
115	114	fdmd 5279	. . . . . 6 $/\$
116	112, 115	eqtrd 2172	. . . . 5 $/\$
117		1ex 7761	. . . . . . . . 9
118	117	fconst 5318	. . . . . . . 8
119	52	feq1i 5265	. . . . . . . 8
120	118, 119	mpbir 145	. . . . . . 7
121	120	fdmi 5280	. . . . . 6
122	121	a1i 9	. . . . 5 $/\$
123	104, 105, 107, 110, 116, 122	dvimulf 12839	. . . 4 $/\$
124	73, 66, 79, 93, 82	offval2 5997	. . . . . . 7
125		expp1 10300	. . . . . . . . 9 $/\$
126	63, 64, 125	syl2anr 288	. . . . . . . 8 $/\$
127	126	mpteq2dva 4018	. . . . . . 7
128	124, 127	eqtr4d 2175	. . . . . 6
129	128	oveq2d 5790	. . . . 5
130	129	adantr 274	. . . 4 $/\$
131	102, 123, 130	3eqtr2rd 2179	. . 3 $/\$
132	131	ex 114	. 2
133	9, 18, 27, 36, 54, 132	nnind 8736	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1331

wcel 1480

cvv 2686

csn 3527

cpr 3528

cmpt 3989

cid 4210

cxp 4537

cdm 4539

cres 4541

wf 5119

wf1o 5122 (class class class)co 5774

cof 5980

cc 7618

cr 7619

cc0 7620

c1 7621

caddc 7623

cmul 7625

cmin 7933

cn 8720

cn0 8977

cexp 10292

cdv 12793

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740 ax-addf 7742 ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 816 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-isom 5132 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-of 5982 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-map 6544 df-pm 6545 df-sup 6871 df-inf 6872 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-q 9412 df-rp 9442 df-xneg 9559 df-xadd 9560 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771 df-rest 12122 df-topgen 12141 df-psmet 12156 df-xmet 12157 df-met 12158 df-bl 12159 df-mopn 12160 df-top 12165 df-topon 12178 df-bases 12210 df-ntr 12265 df-cn 12357 df-cnp 12358 df-tx 12422 df-cncf 12727 df-limced 12794 df-dvap 12795

This theorem is referenced by: dvexp2 12845

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