Theorem ivthinclemlopn 12783

Description: Lemma for ivthinc 12790. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivthinc.i	|- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
ivthinclem.l	|- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
ivthinclem.r	|- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
ivthinclemlopn.q	|- ( ph -> Q e. L )

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlopn	|- ( ph -> E. r e. L Q < r )

Distinct variable groups:   w, A   x, A, y   w, B   x, B, y   w, F   x, F, y   L, r   Q, r   w, Q   x, Q, y   w, U   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w, r)   A( r)   B( r)   D( x, y, w, r)   R( x, y, w, r)   U( x, y, r)   F( r)   L( x, y, w)

Proof of Theorem ivthinclemlopn

Dummy variables z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
2		ivth.5	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
3		ivthinclemlopn.q	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. L )
4		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( w = Q -> ( F ` w ) = ( F ` Q ) )
5	4	breq1d 3939	. . . . . . 7 |- ( w = Q -> ( ( F ` w ) < U <-> ( F ` Q ) < U ) )
6		ivthinclem.l	. . . . . . 7 |- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
7	5, 6	elrab2 2843	. . . . . 6 |- ( Q e. L <-> ( Q e. ( A [,] B ) /\ ( F ` Q ) < U ) )
8	3, 7	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( A [,] B ) /\ ( F ` Q ) < U ) )
9	8	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( A [,] B ) )
10	2, 9	sseldd 3098	. . 3 |- ( ph -> Q e. D )
11		ivth.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
12		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( x = Q -> ( F ` x ) = ( F ` Q ) )
13	12	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` Q ) e. RR ) )
14		ivth.8	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15	14	ralrimiva 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
16	13, 15, 9	rspcdva 2794	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. RR )
17	11, 16	resubcld 8143	. . . 4 |- ( ph -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR )
18	8	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` Q ) < U )
19	16, 11	posdifd 8294	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) < U <-> 0 < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
20	18, 19	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( U - ( F ` Q ) ) )
21	17, 20	elrpd 9481	. . 3 |- ( ph -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR+ )
22		cncfi 12734	. . 3 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ Q e. D /\ ( U - ( F ` Q ) ) e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
26		elicc2 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( Q e. ( A [,] B ) <-> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q e. ( A [,] B ) <-> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) ) )
28	9, 27	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) )
29	28	simp1d 993	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. RR )
30	29	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q e. RR )
31		simprl 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
32	31	rphalfcld 9496	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR+ )
33	32	rpred 9483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR )
34	30, 33	readdcld 7795	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR )
35	24	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A e. RR )
36	28	simp2d 994	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ Q )
37	36	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A <_ Q )
38	30, 32	ltaddrpd 9517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) )
39	30, 34, 38	ltled 7881	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q <_ ( Q + ( d / 2 ) ) )
40	35, 30, 34, 37, 39	letrd 7886	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) )
41	25	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> B e. RR )
42	31	rpred 9483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> d e. RR )
43	30, 42	readdcld 7795	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + d ) e. RR )
44		rphalflt 9471	. . . . . . . . 9 |- ( d e. RR+ -> ( d / 2 ) < d )
45	31, 44	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) < d )
46	33, 42, 30, 45	ltadd2dd 8184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) < ( Q + d ) )
47	29	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> Q e. RR )
48	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> d e. RR+ )
49	48	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> d e. RR )
50	47, 49	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) e. RR )
51	25	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B e. RR )
52	47, 48	ltsubrpd 9516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) < Q )
53	28	simp3d 995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q <_ B )
54	53	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> Q <_ B )
55	50, 47, 51, 52, 54	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) < B )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B < ( Q + d ) )
57	51, 47, 49	absdifltd 10950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d <-> ( ( Q - d ) < B /\ B < ( Q + d ) ) ) )
58	55, 56, 57	mpbir2and 928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( abs ` ( B - Q ) ) < d )
59		fvoveq1 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = B -> ( abs ` ( z - Q ) ) = ( abs ` ( B - Q ) ) )
60	59	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = B -> ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d <-> ( abs ` ( B - Q ) ) < d ) )
61	60	imbrov2fvoveq 5799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) <-> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
62		simplrr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
63	24	rexrd 7815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
64	25	rexrd 7815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR* )
65		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A < B )
66	24, 25, 65	ltled 7881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A <_ B )
67		ubicc2 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )
68	63, 64, 66, 67	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
69	2, 68	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. D )
70	69	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B e. D )
71	61, 62, 70	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
72	58, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
73		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
74	73	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` B ) e. RR ) )
75	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
76	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> B e. ( A [,] B ) )
77	74, 75, 76	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
78	77	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
79	16	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` Q ) e. RR )
80	17	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR )
81	78, 79, 80	absdifltd 10950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) <-> ( ( ( F ` Q ) - ( U - ( F ` Q ) ) ) < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) )
82	72, 81	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( ( F ` Q ) - ( U - ( F ` Q ) ) ) < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
83	82	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) )
84	79	recnd 7794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` Q ) e. CC )
85	11	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. CC )
86	85	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U e. CC )
87	84, 86	pncan3d 8076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) = U )
88	83, 87	breqtrd 3954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) < U )
89		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
90	89	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
91	90	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U < ( F ` B ) )
92	88, 91	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
93	11	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U e. RR )
94		ltnsym2 7854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ U e. RR ) -> -. ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
95	78, 93, 94	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> -. ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
96	92, 95	pm2.65da 650	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> -. B < ( Q + d ) )
97	43, 41, 96	nltled 7883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + d ) <_ B )
98	34, 43, 41, 46, 97	ltletrd 8185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) < B )
99	34, 41, 98	ltled 7881	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B )
100		elicc2 9721	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) /\ ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
101	35, 41, 100	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) /\ ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
102	34, 40, 99, 101	mpbir3and 1164	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) )
103	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) e. RR )
104		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2208	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) e. RR ) )
106	105, 75, 102	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) e. RR )
107		breq2 3933	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( Q < y <-> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
108		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
109	108	breq2d 3941	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` Q ) < ( F ` y ) <-> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) )
110	107, 109	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) <-> ( Q < ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) ) )
111		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Q -> ( x < y <-> Q < y ) )
112	12	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Q -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
113	111, 112	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Q -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) ) )
114	113	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Q -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) ) )
115		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
116	115	expr 372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
117	116	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
118	117	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
119	114, 118, 9	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
120	119	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
121	110, 120, 102	rspcdva 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q < ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) )
122	38, 121	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
123	103, 106, 122	ltled 7881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) <_ ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
124	103, 106, 123	abssubge0d 10948	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) )
125	30	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q e. CC )
126	33	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. CC )
127	125, 126	pncan2d 8075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) = ( d / 2 ) )
128	127	fveq2d 5425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) = ( abs ` ( d / 2 ) ) )
129	32	rpge0d 9487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( d / 2 ) )
130	33, 129	absidd 10939	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( d / 2 ) ) = ( d / 2 ) )
131	128, 130	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) = ( d / 2 ) )
132	131, 45	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d )
133		fvoveq1 5797	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( abs ` ( z - Q ) ) = ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) )
134	133	breq1d 3939	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d <-> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d ) )
135	134	imbrov2fvoveq 5799	. . . . . . . 8 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) <-> ( ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
136		simprr 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
137	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ D )
138	137, 102	sseldd 3098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. D )
139	135, 136, 138	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
140	132, 139	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
141	124, 140	eqbrtrrd 3952	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
142	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> U e. RR )
143	106, 142, 103	ltsub1d 8316	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U <-> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
144	141, 143	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U )
145		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( w = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
146	145	breq1d 3939	. . . . 5 |- ( w = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` w ) < U <-> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U ) )
147	146, 6	elrab2 2843	. . . 4 |- ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. L <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) /\ ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U ) )
148	102, 144, 147	sylanbrc 413	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. L )
149		breq2 3933	. . . 4 |- ( r = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( Q < r <-> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
150	149	rspcev 2789	. . 3 |- ( ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. L /\ Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) -> E. r e. L Q < r )
151	148, 38, 150	syl2anc 408	. 2 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> E. r e. L Q < r )
152	23, 151	rexlimddv 2554	1 |- ( ph -> E. r e. L Q < r )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   2c2 8771   RR+crp 9441   [,]cicc 9674   abscabs 10769   -cn->ccncf 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-icc 9678  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-cncf 12727

This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  12784