ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltapig Unicode version

Theorem ltapig 6590
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltapig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )

Proof of Theorem ltapig
StepHypRef Expression
1 pinn 6561 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 6561 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 6561 . . . . 5  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnaord 6148 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
653expa 1139 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
7 ltpiord 6571 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
87adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
9 addclpi 6579 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  e.  N. )
10 addclpi 6579 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  e.  N. )
11 ltpiord 6571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  +N  A
)  e.  N.  /\  ( C  +N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B )  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
129, 10, 11syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
13 addpiord 6568 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  =  ( C  +o  A ) )
1413adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  A )  =  ( C  +o  A ) )
15 addpiord 6568 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  =  ( C  +o  B ) )
1615adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  B )  =  ( C  +o  B ) )
1714, 16eleq12d 2150 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
1812, 17bitrd 186 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
1918anandis 557 . . . 4  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
2019ancoms 264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
216, 8, 203bitr4d 218 . 2  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  +N  A
)  <N  ( C  +N  B ) ) )
22213impa 1134 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   omcom 4339  (class class class)co 5543    +o coa 6062   N.cnpi 6524    +N cpli 6525    <N clti 6527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-ni 6556  df-pli 6557  df-lti 6559
This theorem is referenced by:  ltanqg  6652
  Copyright terms: Public domain W3C validator