Theorem addpiord 7124

Description: Positive integer addition in terms of ordinal addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Proof of Theorem addpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4571	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
2		fvres 5445	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. ) = ( +o ` <. A , B >. ) )
3		df-ov 5777	. . . 4 |- ( A +N B ) = ( +N ` <. A , B >. )
4		df-pli 7113	. . . . 5 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
5	4	fveq1i 5422	. . . 4 |- ( +N ` <. A , B >. ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2160	. . 3 |- ( A +N B ) = ( ( +o |` ( N. X. N. ) ) ` <. A , B >. )
7		df-ov 5777	. . 3 |- ( A +o B ) = ( +o ` <. A , B >. )
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2197	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( N. X. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
9	1, 8	syl 14	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   X. cxp 4537   |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   +o coa 6310   N.cnpi 7080   +N cpli 7081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-res 4551  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pli 7113

This theorem is referenced by:  addclpi  7135  addcompig  7137  addasspig  7138  distrpig  7141  addcanpig  7142  addnidpig  7144  ltexpi  7145  ltapig  7146  1lt2pi  7148  indpi  7150  archnqq  7225  prarloclemarch2  7227  nqnq0a  7262