Theorem peano5 4347

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4352. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem peano5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfom3 4341	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
2		peano1 4343	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
3		elin 3156	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A ) )
4	2, 3	mpbiran 882	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> (/) e. A )
5	4	biimpri 131	. . . . . 6 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A ) )
6		peano2 4344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	6	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om )
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om ) )
9		pm3.31 258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. A ) )
10	8, 9	jcad 301	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
11	10	alimi 1385	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
12		df-ral 2354	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) <-> A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
13		elin 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om i^i A ) <-> ( x e. om /\ x e. A ) )
14		elin 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( om i^i A ) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) )
15	13, 14	imbi12i 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
16	15	albii 1400	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
17	11, 12, 16	3imtr4i 199	. . . . . . 7 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
18		df-ral 2354	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) <-> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
19	17, 18	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) )
20	5, 19	anim12i 331	. . . . 5 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
21		omex 4342	. . . . . . 7 |- om e. _V
22	21	inex1 3920	. . . . . 6 |- ( om i^i A ) e. _V
23		eleq2 2143	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( (/) e. y <-> (/) e. ( om i^i A ) ) )
24		eleq2 2143	. . . . . . . 8 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( suc x e. y <-> suc x e. ( om i^i A ) ) )
25	24	raleqbi1dv 2558	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
26	23, 25	anbi12d 457	. . . . . 6 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) ) )
27	22, 26	elab 2739	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
28	20, 27	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		intss1 3659	. . . 4 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
30	28, 29	syl 14	. . 3 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
31	1, 30	syl5eqss 3044	. 2 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
32		ssid 3019	. . . 4 |- om C_ om
33	32	biantrur 297	. . 3 |- ( om C_ A <-> ( om C_ om /\ om C_ A ) )
34		ssin 3195	. . 3 |- ( ( om C_ om /\ om C_ A ) <-> om C_ ( om i^i A ) )
35	33, 34	bitri 182	. 2 |- ( om C_ A <-> om C_ ( om i^i A ) )
36	31, 35	sylibr 132	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1283   = wceq 1285   e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   i^i cin 2973   C_ wss 2974   (/)c0 3258   |^|cint 3644   suc csuc 4128   omcom 4339

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-suc 4134  df-iom 4340

This theorem is referenced by:  find  4348  finds  4349  finds2  4350  indpi  6594