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Theorem indpi 6498
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2 elni 6464 . . 3  |-  ( x  e.  N.  <->  ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) ) )
3 eqid 2056 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (/)
43orci 660 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
5 nfv 1437 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x (/)  =  (/)
6 nfsbc1v 2805 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. (/)  /  x ]. ph
75, 6nfor 1482 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
8 0ex 3912 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
9 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  (/)  <->  (/)  =  (/) ) )
10 sbceq1a 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
119, 10orbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  (/)  \/  ph ) 
<->  ( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
127, 8, 11elabf 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <->  ( (/)  =  (/)  \/ 
[. (/)  /  x ]. ph ) )
134, 12mpbir 138 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  {
x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
14 suceq 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
15 df-1o 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  =  suc  (/)
1614, 15syl6eqr 2106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ps
1817olci 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
19 1onn 6124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
2019elexi 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  _V
21 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
22 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2321, 22orbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
) )
2420, 23elab 2710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
)
2518, 24mpbir 138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
2616, 25syl6eqel 2144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
2726a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) ) )
29 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
30 elni 6464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
3130simprbi 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  y  =/=  (/) )
3231neneqd 2241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  -.  y  =  (/) )
33 biorf 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  ( ch 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
ch ) ) )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
ch ) ) )
35 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
37 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3836, 37orbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( y  =  (/)  \/  ch )
) )
3935, 38elab 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( y  =  (/)  \/  ch )
)
4034, 39syl6bbr 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch 
<->  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
41 1pi 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  N.
42 addclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
4341, 42mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
44 elni 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +N  1o )  e.  N.  <->  ( (
y  +N  1o )  e.  om  /\  (
y  +N  1o )  =/=  (/) ) )
4543, 44sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  om  /\  (
y  +N  1o )  =/=  (/) ) )
4645simprd 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =/=  (/) )
4746neneqd 2241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  -.  ( y  +N  1o )  =  (/) )
48 biorf 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( y  +N  1o )  =  (/)  ->  ( th 
<->  ( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  ( th 
<->  ( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
50 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  +N  1o )  =  (/) ) )
51 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
5250, 51orbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( (
y  +N  1o )  =  (/)  \/  th )
) )
5352elabg 2711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +N  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <-> 
( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
5443, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <-> 
( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
55 addpiord 6472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
5641, 55mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
57 pion 6466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
58 oa1suc 6078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
5957, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6056, 59eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6160eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6249, 54, 613bitr2d 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( th 
<->  suc  y  e.  {
x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6329, 40, 623imtr3d 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6463a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  e.  N.  ->  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) ) )
65 nndceq0 4367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  -> DECID  y  =  (/) )
66 df-dc 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  y  =  (/) 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
-.  y  =  (/) ) )
6765, 66sylib 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  \/  -.  y  =  (/) ) )
68 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  ->  y  =  (/) ) )
6968necon3bd 2263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) ) )
7069anc2li 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  (
y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7170, 30syl6ibr 155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  y  e.  N. ) )
7271orim2d 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
-.  y  =  (/) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  e.  N. ) ) )
7367, 72mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  \/  y  e.  N. ) )
7428, 64, 73mpjaod 648 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
7574rgen 2391 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  om  ( y  e. 
{ x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
76 peano5 4349 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  /\  A. y  e. 
om  ( y  e. 
{ x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )  ->  om  C_  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) } )
7713, 75, 76mp2an 410 . . . . . . 7  |-  om  C_  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
7877sseli 2969 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
79 abid 2044 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( x  =  (/)  \/  ph )
)
8078, 79sylib 131 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  =  (/)  \/  ph ) )
8180adantr 265 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
x  =  (/)  \/  ph ) )
82 df-ne 2221 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
83 biorf 673 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( ph 
<->  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) ) )
8482, 83sylbi 118 . . . . 5  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( ph  <->  ( x  =  (/)  \/  ph ) ) )
8584adantl 266 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ph 
<->  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) ) )
8681, 85mpbird 160 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  ph )
872, 86sylbi 118 . 2  |-  ( x  e.  N.  ->  ph )
881, 87vtoclga 2636 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639  DECID wdc 753    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042    =/= wne 2220   A.wral 2323   [.wsbc 2787    C_ wss 2945   (/)c0 3252   Oncon0 4128   suc csuc 4130   omcom 4341  (class class class)co 5540   1oc1o 6025    +o coa 6029   N.cnpi 6428    +N cpli 6429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-ni 6460  df-pli 6461
This theorem is referenced by:  pitonn  6982
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