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Theorem rdgtfr 6043
Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgtfr  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
Distinct variable groups:    A, g    x, g, z, F
Allowed substitution hints:    A( x, z, f)    F( f)    V( x, z, f, g)

Proof of Theorem rdgtfr
StepHypRef Expression
1 elex 2619 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 funmpt 4988 . . . 4  |-  Fun  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )
3 vex 2613 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
4 vex 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
54dmex 4646 . . . . . . . . . 10  |-  dom  g  e.  _V
6 vex 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
74, 6fvex 5246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
8 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( g `  x )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( g `  x
) ) )
98eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( g `  x )  ->  (
( F `  z
)  e.  _V  <->  ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V ) )
107, 9spcv 2700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( F `  z )  e.  _V  ->  ( F `  (
g `  x )
)  e.  _V )
1110ralrimivw 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( F `  z )  e.  _V  ->  A. x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V )
12 iunexg 5797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  g  e.  _V  /\ 
A. x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V )
135, 11, 12sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( F `  z )  e.  _V  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  e.  _V )
14 unexg 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
1513, 14sylan2 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. z ( F `  z )  e.  _V )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) )  e.  _V )
1615ancoms 264 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) )  e.  _V )
1716ralrimivw 2440 . . . . . 6  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  A. g  e.  _V  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) )  e.  _V )
18 dmmptg 4868 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  _V  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) )  e.  _V  ->  dom  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  _V )
1917, 18syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  dom  (
g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  _V )
203, 19syl5eleqr 2172 . . . 4  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  f  e. 
dom  ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
21 funfvex 5243 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) )  /\  f  e.  dom  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )  ->  (
( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V )
222, 20, 21sylancr 405 . . 3  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V )
2322, 2jctil 305 . 2  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
241, 23sylan2 280 1  |-  ( ( A. z ( F `
 z )  e. 
_V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  f )  e.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   _Vcvv 2610    u. cun 2980   U_ciun 3698    |-> cmpt 3859   dom cdm 4391   Fun wfun 4946   ` cfv 4952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960
This theorem is referenced by:  rdgifnon2  6049
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