ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 GIF version

Theorem 6lcm4e12 10676
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 8240 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 8236 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7238 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 8428 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 8506 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 8514 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 10661 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 8462 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 417 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 10565 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 8462 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 417 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 266 . . . . . . 7 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 8256 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
1514neii 2251 . . . . . . . 8 ¬ 4 = 0
1615intnan 872 . . . . . . 7 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 10561 . . . . . . 7 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 417 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 8189 . . . . 5 (6 gcd 4) ≠ 0
2018nnzi 8505 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℤ
21 0z 8495 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
22 zapne 8555 . . . . . 6 (((6 gcd 4) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0))
2320, 21, 22mp2an 417 . . . . 5 ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0)
2419, 23mpbir 144 . . . 4 (6 gcd 4) # 0
2512, 24pm3.2i 266 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)
26 6nn 8316 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
27 4nn 8314 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2826, 27pm3.2i 266 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
29 lcmgcdnn 10671 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3130eqcomd 2088 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
32 divmulap3 7884 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
3331, 32mpbird 165 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
3433eqcomd 2088 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
353, 9, 25, 34mp3an 1269 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
36 6gcd4e2 10591 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3736oveq2i 5574 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
38 2cn 8229 . . . 4 2 ∈ ℂ
39 2ap0 8251 . . . 4 2 # 0
401, 2, 38, 39divassapi 7975 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
41 4d2e2 8311 . . . 4 (4 / 2) = 2
4241oveq2i 5574 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
43 6t2e12 8713 . . 3 (6 · 2) = 12
4440, 42, 433eqtri 2107 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4535, 37, 443eqtri 2107 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cc 7093  0cc0 7095  1c1 7096   · cmul 7100   # cap 7800   / cdiv 7879  cn 8158  2c2 8208  4c4 8210  6c6 8212  cz 8484  cdc 8610   gcd cgcd 10545   lcm clcm 10649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-5 8220  df-6 8221  df-7 8222  df-8 8223  df-9 8224  df-n0 8408  df-z 8485  df-dec 8611  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546  df-lcm 10650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator