Theorem blssioo 12714

Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
blssioo	⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 12710	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		blrn 12581	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5		elxr 9563	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
6	1	bl2ioo 12711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7		resubcl 8026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
8		readdcl 7746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9		rexr 7811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
10		rexr 7811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
11		ioorebasg 9758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
13	7, 8, 12	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
14	6, 13	eqeltrd 2216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
15		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
16	1	remet 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
17		blpnf 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
18	16, 17	mpan 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
19	15, 18	sylan9eqr 2194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
20		ioomax 9731	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
21		mnfxr 7822	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22		pnfxr 7818	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
23		ioorebasg 9758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
24	21, 22, 23	mp2an 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
25	20, 24	eqeltrri 2213	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
26	19, 25	eqeltrdi 2230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28		0xr 7812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		nltmnf 9574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < -∞
31		xblm 12586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
32	2, 21, 31	mp3an13 1306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
33	30, 32	mtbiri 664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
34		notm0 3383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
35	33, 34	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
36	27, 35	sylan9eqr 2194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37		iooidg 9692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0(,)0) = ∅)
38	28, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) = ∅
39		ioorebasg 9758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
40	28, 28, 39	mp2an 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
41	38, 40	eqeltrri 2213	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
42	36, 41	eqeltrdi 2230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
43	14, 26, 42	3jaodan 1284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
44	5, 43	sylan2b 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
45		eleq1 2202	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
46	44, 45	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
47	46	rexlimivv 2555	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
48	4, 47	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
49	48	ssriv 3101	1 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 961   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ran crn 4540   ↾ cres 4541   ∘ ccom 4543  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620   + caddc 7623  +∞cpnf 7797  -∞cmnf 7798  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800   − cmin 7933  (,)cioo 9671  abscabs 10769  ∞Metcxmet 12149  Metcmet 12150  ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-xadd 9560  df-ioo 9675  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  tgioo  12715