Theorem ef0lem 11366

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef0lem	⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0uz 9360	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrrdi 2233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		elnn0 8979	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
5	3, 4	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6		0cnd 7759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℂ)
7		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
8	6, 7	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nnnn0 8984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		efcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftvalcn 11363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	8, 10, 12	syl2an2r 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		oveq1 5781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
15		0exp 10328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
16	14, 15	sylan9eq 2192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
17	16	oveq1d 5789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
18		faccl 10481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
19		nncn 8728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
20		nnap0 8749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) # 0)
21	19, 20	div0apd 8547	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
22	10, 18, 21	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
23	13, 17, 22	3eqtrd 2176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 0)
24		nnne0 8748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
25		velsn 3544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
26	25	necon3bbii 2345	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
27	24, 26	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
28	27	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
29	28	iffalsed 3484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
30	23, 29	eqtr4d 2175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
31		fveq2 5421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
32		0nn0 8992	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	11	eftvalcn 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
34	8, 32, 33	sylancl 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35		oveq1 5781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
36		0exp0e1 10298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑0) = 1
37	35, 36	syl6eq 2188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
38	37	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
39	34, 38	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = (1 / (!‘0)))
40		fac0 10474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘0) = 1
41	40	oveq2i 5785	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
42		1div1e1 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
43	41, 42	eqtr2i 2161	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 / (!‘0))
44	39, 43	syl6eqr 2190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
45	31, 44	sylan9eqr 2194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = 1)
46		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
47	46, 25	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
48	47	iftrued 3481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
49	45, 48	eqtr4d 2175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
50	30, 49	jaodan 786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
51	5, 50	syldan 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
52	32, 2	eleqtri 2214	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
53	52	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
54		1cnd 7782	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
55	25	biimpri 132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ {0})
56	27, 55	orim12i 748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
57	5, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
58	57	orcomd 718	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
59		df-dc 820	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ {0} ↔ (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
60	58, 59	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → DECID 𝑘 ∈ {0})
61		0z 9065	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzsn 9846	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
64	63	eqimss2i 3154	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ (0...0)
65	64	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
66	51, 53, 54, 60, 65	fsum3cvg2 11163	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
67	61	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℤ)
68	8, 3, 12	syl2an2r 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
69		eftcl 11360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70	8, 3, 69	syl2an2r 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
71	68, 70	eqeltrd 2216	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
72		addcl 7745	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
73	72	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
74	67, 71, 73	seq3-1 10233	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
75	74, 44	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
76	66, 75	breqtrd 3954	1 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ⊆ wss 3071  ifcif 3474  {csn 3527   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   / cdiv 8432  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  seqcseq 10218  ↑cexp 10292  !cfa 10471   ⇝ cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-cj 10614  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  ef0  11378