Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac0 GIF version

Theorem fac0 9596
 Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7079 . 2 0 ∈ V
2 1ex 7080 . 2 1 ∈ V
3 df-fac 9594 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
4 nnuz 8604 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 8252 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2078 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4637 . . . . 5 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 1zzd 8329 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
9 cnex 7063 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
109a1i 9 . . . . . . . 8 (⊤ → ℂ ∈ V)
11 fvi 5258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1211eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1312ibir 170 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
14 eluzelcn 8580 . . . . . . . . . 10 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1615adantl 266 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
17 mulcl 7066 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1817adantl 266 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
198, 10, 16, 18iseqfn 9385 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1))
2019trud 1268 . . . . . 6 seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1)
21 fnresdm 5036 . . . . . 6 (seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I , ℂ))
2220, 21ax-mp 7 . . . . 5 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I , ℂ)
237, 22eqtr3i 2078 . . . 4 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I , ℂ)
2423uneq2i 3122 . . 3 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
253, 24eqtr4i 2079 . 2 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
261, 2, 25fvsnun1 5388 1 (!‘0) = 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 101   = wceq 1259  ⊤wtru 1260   ∈ wcel 1409  Vcvv 2574   ∖ cdif 2942   ∪ cun 2943  {csn 3403  ⟨cop 3406   I cid 4053   ↾ cres 4375   Fn wfn 4925  ‘cfv 4930  (class class class)co 5540  ℂcc 6945  0cc0 6947  1c1 6948   · cmul 6952  ℕcn 7990  ℕ0cn0 8239  ℤ≥cuz 8569  seqcseq 9375  !cfa 9593 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376  df-fac 9594 This theorem is referenced by:  facp1  9598  faccl  9603  facwordi  9608  faclbnd  9609  facubnd  9613  bcn0  9623  ibcval5  9631
 Copyright terms: Public domain W3C validator