ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz1 GIF version

Theorem eluz1 8572
Description: Membership in the upper set of integers starting at 𝑀. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 8570 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘})
21eleq2d 2123 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘}))
3 breq2 3795 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
43elrab 2720 . 2 (𝑁 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑘} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
52, 4syl6bb 189 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  {crab 2327   class class class wbr 3791  cfv 4929  cle 7119  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-ov 5542  df-neg 7247  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by:  eluz2  8574  eluz1i  8575  eluz  8581  uzid  8582  uzss  8588  eluzp1m1  8591  eluzadd  8596  eluzsub  8597  raluz  8616  rexuz  8618  caucvgrelemcau  9800  caucvgre  9801  ialgcvga  10245
  Copyright terms: Public domain W3C validator