ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgre GIF version

Theorem caucvgre 9434
Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgre (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝑘,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑘   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 7868 . . . 4 ℕ = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2 caucvgre.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 caucvgre.cau . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
42, 3caucvgrelemcau 9433 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
51, 2, 4ax-caucvg 6961 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6 ralrp 8551 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
7 0re 6984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 ltxrlt 7041 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
97, 8mpan 400 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
109imbi1d 220 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))))
1110ralbiia 2335 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
126, 11bitri 173 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1312rexbii 2328 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
145, 13sylibr 137 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
15 simpr 103 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615peano2nnd 7881 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
17 uznnssnn 8468 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (ℤ‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ)
18 ssralv 3001 . . . . . . . . 9 ((ℤ‘(𝑚 + 1)) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
20 eluznn 8486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2116, 20sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 7881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2423nnzd 8307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
25 eluz1 8425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2726biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2827impancom 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)))
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
3029simprd 107 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ≤ 𝑘)
31 nnre 7873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
33 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3433nnred 7879 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
35 1re 6983 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
36 ltadd1 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
3735, 36mp3an3 1221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
3832, 34, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
39 nnleltp1 8251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
4023, 33, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) < (𝑘 + 1)))
4138, 40bitr4d 180 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
4221, 41syldan 266 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 < 𝑘 ↔ (𝑚 + 1) ≤ 𝑘))
4330, 42mpbird 156 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑚 < 𝑘)
44 nnre 7873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
45 ltxrlt 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
4631, 44, 45syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
4746adantll 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 < 𝑘𝑚 < 𝑘))
482ad4antr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4948, 33ffvelrnd 5266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
50 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5150adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 rpre 8536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5352ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5451, 53readdcld 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ)
55 ltxrlt 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥)))
5649, 54, 55syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥)))
5749, 53readdcld 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ)
58 ltxrlt 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
5951, 57, 58syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))
6056, 59anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6147, 60imbi12d 223 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) ↔ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6261biimprd 147 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6321, 62syldan 266 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)))))
6443, 63mpid 37 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6564ralimdva 2384 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
6619, 65syld 40 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))))
67 fveq2 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
6867breq1d 3771 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ↔ (𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥)))
6967oveq1d 5490 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) + 𝑥) = ((𝐹𝑖) + 𝑥))
7069breq2d 3773 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7168, 70anbi12d 442 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7271cbvralv 2530 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7366, 72syl6ib 150 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7473reximdva 2418 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
75 fveq2 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑚 + 1)))
7675raleqdv 2508 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
7776rspcev 2653 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7816, 77sylan 267 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
7978ex 108 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8079rexlimdva 2430 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8174, 80syld 40 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8281ralimdva 2384 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8382reximdva 2418 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑚 < 𝑘 → ((𝐹𝑘) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑘) + 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
8414, 83mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2303  wrex 2304  wss 2914   class class class wbr 3761  wf 4861  cfv 4865  (class class class)co 5475  cr 6845  0cc0 6846  1c1 6847   + caddc 6849   < cltrr 6850   < clt 7016  cle 7017   / cdiv 7603  cn 7866  cz 8193  cuz 8421  +crp 8530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-mulrcl 6940  ax-addcom 6941  ax-mulcom 6942  ax-addass 6943  ax-mulass 6944  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-1rid 6948  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-precex 6951  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957  ax-pre-mulgt0 6958  ax-pre-mulext 6959  ax-caucvg 6961
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-reap 7518  df-ap 7525  df-div 7604  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-rp 8531
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9438
  Copyright terms: Public domain W3C validator