ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoss1 GIF version

Theorem fzoss1 9334
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 9310 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 271 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 fzss1 9234 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
43adantr 270 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5 fzoval 9312 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
65adantl 271 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
7 fzoval 9312 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
87adantl 271 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
94, 6, 83sstr4d 3052 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
109sseld 3008 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1110impancom 256 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
122, 11mpd 13 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
1312ex 113 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1413ssrdv 3015 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2983  cfv 4953  (class class class)co 5565  1c1 7121  cmin 7423  cz 8509  cuz 8777  ...cfz 9182  ..^cfzo 9306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-fz 9183  df-fzo 9307
This theorem is referenced by:  fzo0ss1  9337  fzosplit  9340  zpnn0elfzo  9370  fzofzp1  9390  fzostep1  9400
  Copyright terms: Public domain W3C validator