ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2addnq GIF version

Theorem lt2addnq 6530
Description: Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lt2addnq (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2addnq
StepHypRef Expression
1 ltanqg 6526 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
213expa 1113 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
32adantrr 456 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
4 addcomnqg 6507 . . . . . . 7 ((𝐶Q𝐴Q) → (𝐶 +Q 𝐴) = (𝐴 +Q 𝐶))
54ancoms 259 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐶Q) → (𝐶 +Q 𝐴) = (𝐴 +Q 𝐶))
65ad2ant2r 486 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 +Q 𝐴) = (𝐴 +Q 𝐶))
7 addcomnqg 6507 . . . . . . 7 ((𝐶Q𝐵Q) → (𝐶 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐶))
87ancoms 259 . . . . . 6 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐶 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐶))
98ad2ant2lr 487 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐶))
106, 9breq12d 3802 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶)))
113, 10bitrd 181 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶)))
12 ltanqg 6526 . . . . . 6 ((𝐶Q𝐷Q𝐵Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
13123expa 1113 . . . . 5 (((𝐶Q𝐷Q) ∧ 𝐵Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
1413ancoms 259 . . . 4 ((𝐵Q ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
1514adantll 453 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
1611, 15anbi12d 450 . 2 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶) ∧ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷))))
17 ltsonq 6524 . . 3 <Q Or Q
18 ltrelnq 6491 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
1917, 18sotri 4745 . 2 (((𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶) ∧ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)) → (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷))
2016, 19syl6bi 156 1 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  Qcnq 6406   +Q cplq 6408   <Q cltq 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-ltnqqs 6479
This theorem is referenced by:  addlocprlemeqgt  6658  addnqprlemrl  6683  addnqprlemru  6684  cauappcvgprlemladdfl  6781  caucvgprlemloc  6801  caucvgprprlemloccalc  6810
  Copyright terms: Public domain W3C validator