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 Description: Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lt2addnq (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2addnq
StepHypRef Expression
1 ltanqg 6526 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
213expa 1113 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
32adantrr 456 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵)))
4 addcomnqg 6507 . . . . . . 7 ((𝐶Q𝐴Q) → (𝐶 +Q 𝐴) = (𝐴 +Q 𝐶))
54ancoms 259 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐶Q) → (𝐶 +Q 𝐴) = (𝐴 +Q 𝐶))
65ad2ant2r 486 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 +Q 𝐴) = (𝐴 +Q 𝐶))
7 addcomnqg 6507 . . . . . . 7 ((𝐶Q𝐵Q) → (𝐶 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐶))
87ancoms 259 . . . . . 6 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐶 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐶))
98ad2ant2lr 487 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐶))
106, 9breq12d 3802 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐶 +Q 𝐴) <Q (𝐶 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶)))
113, 10bitrd 181 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶)))
12 ltanqg 6526 . . . . . 6 ((𝐶Q𝐷Q𝐵Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
13123expa 1113 . . . . 5 (((𝐶Q𝐷Q) ∧ 𝐵Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
1413ancoms 259 . . . 4 ((𝐵Q ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
1514adantll 453 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
1611, 15anbi12d 450 . 2 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶) ∧ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷))))
17 ltsonq 6524 . . 3 <Q Or Q
18 ltrelnq 6491 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
1917, 18sotri 4745 . 2 (((𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐶) ∧ (𝐵 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)) → (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷))
2016, 19syl6bi 156 1 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 +Q 𝐶) <Q (𝐵 +Q 𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1257   ∈ wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  Qcnq 6406   +Q cplq 6408
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