ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 GIF version

Theorem nnm1 6128
Description: Multiply an element of ω by 1𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6032 . . 3 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 5551 . 2 (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = (𝐴 ·𝑜 suc ∅)
3 peano1 4345 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 nnmsuc 6087 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
53, 4mpan2 409 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
6 nnm0 6085 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)
76oveq1d 5555 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴) = (∅ +𝑜 𝐴))
8 nna0r 6088 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ +𝑜 𝐴) = 𝐴)
95, 7, 83eqtrd 2092 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = 𝐴)
102, 9syl5eq 2100 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1259  wcel 1409  c0 3252  suc csuc 4130  ωcom 4341  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025   +𝑜 coa 6029   ·𝑜 comu 6030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037
This theorem is referenced by:  nnm2  6129  mulidpi  6474  archnqq  6573  nq0a0  6613  nq02m  6621
  Copyright terms: Public domain W3C validator