ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnppipi GIF version

Theorem nnppipi 6498
Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnppipi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem nnppipi
StepHypRef Expression
1 pinn 6464 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
2 nnacl 6089 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
31, 2sylan2 274 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
4 nnaword2 6117 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
51, 4sylan 271 . . . 4 ((𝐵N𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
65ancoms 259 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
7 elni2 6469 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
87simprbi 264 . . . 4 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
98adantl 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
106, 9sseldd 2973 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ∅ ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵))
11 elni2 6469 . 2 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
123, 10, 11sylanbrc 402 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  wss 2944  c0 3251  ωcom 4340  (class class class)co 5539   +𝑜 coa 6028  Ncnpi 6427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-ni 6459
This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  6608  prarloclemlt  6648  prarloclemlo  6649  prarloclemcalc  6657
  Copyright terms: Public domain W3C validator