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Theorem prarloclemlo 6649
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6658. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 )))
21adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 )))
3 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
4 1onn 6123 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
5 nnacl 6089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
63, 4, 5sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
7 2onn 6124 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ ω
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 2𝑜 ∈ ω)
9 simpll 489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑋 ∈ ω)
102, 6, 8, 9caovassd 5687 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 1𝑜 ∈ ω)
12 nnacom 6093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
1312adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
14 nnacl 6089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
1514adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
1713, 11, 9caovcomd 5684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = (𝑋 +𝑜 1𝑜))
18 nnon 4359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ω → 𝑋 ∈ On)
19 oa1suc 6077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ On → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
2117, 20eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = suc 𝑋)
2221oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋))
2310, 16, 223eqtr2rd 2095 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
2423opeq1d 3582 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
2524eceq1d 6172 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
2625oveq1d 5554 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2726oveq2d 5555 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2827eleq1d 2122 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2928biimpd 136 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30 simplr1 957 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
31 simplr2 958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴𝐿)
32 elprnql 6636 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
3330, 31, 32syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴Q)
34 1pi 6470 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜N
35 nnppipi 6498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
363, 34, 35sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
37 opelxpi 4403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
3834, 37mpan2 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
39 enqex 6515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q ∈ V
4039ecelqsi 6190 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
44 simplr3 959 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃Q)
45 mulclnq 6531 . . . . . . . . . . . 12 (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
4643, 44, 45syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
47 nqnq0a 6609 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴Q ∧ ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4833, 46, 47syl2anc 397 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
49 nqnq0m 6610 . . . . . . . . . . . . 13 (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5043, 44, 49syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
51 nqnq0pi 6593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5352oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5450, 53eqtr4d 2091 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5554oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5648, 55eqtrd 2088 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5756eleq1d 2122 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
5857anbi1d 446 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
59 opeq1 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩)
6059eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 )
6160oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
6261oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
6362eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
64 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜))
6564oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6665opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
6766eceq1d 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
6867oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6968oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7069eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7163, 70anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271rspcev 2673 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7372ex 112 . . . . . . . 8 ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
746, 73syl 14 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7558, 74sylbid 143 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
76 opeq1 3576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨𝑦, 1𝑜⟩)
7776eceq1d 6172 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 )
7877oveq1d 5554 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
7978oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
8079eleq1d 2122 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
81 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
8281oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
8382opeq1d 3582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
8483eceq1d 6172 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
8584oveq1d 5554 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
8685oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
8786eleq1d 2122 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
8880, 87anbi12d 450 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
8988cbvrexv 2551 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
9075, 89syl6ib 154 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9129, 90sylan2d 282 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9291expdimp 250 . . 3 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9392adantld 267 . 2 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9493ex 112 1 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  cop 3405  Oncon0 4127  suc csuc 4129  ωcom 4340   × cxp 4370  (class class class)co 5539  1𝑜c1o 6024  2𝑜c2o 6025   +𝑜 coa 6028  [cec 6134   / cqs 6135  Ncnpi 6427   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   ·Q cmq 6438   ~Q0 ceq0 6441   +Q0 cplq0 6444   ·Q0 cmq0 6445  Pcnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6651
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