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Theorem prarloclemlo 6823
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6832. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 )))
21adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 )))
3 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
4 1onn 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
5 nnacl 6146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
63, 4, 5sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
7 2onn 6183 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ ω
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 2𝑜 ∈ ω)
9 simpll 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑋 ∈ ω)
102, 6, 8, 9caovassd 5713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 1𝑜 ∈ ω)
12 nnacom 6150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
1312adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
14 nnacl 6146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
1514adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
1713, 11, 9caovcomd 5710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = (𝑋 +𝑜 1𝑜))
18 nnon 4379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ω → 𝑋 ∈ On)
19 oa1suc 6133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ On → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
2117, 20eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = suc 𝑋)
2221oveq2d 5581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋))
2310, 16, 223eqtr2rd 2122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
2423opeq1d 3597 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
2524eceq1d 6231 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
2625oveq1d 5580 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2726oveq2d 5581 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2827eleq1d 2151 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2928biimpd 142 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30 simplr1 981 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
31 simplr2 982 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴𝐿)
32 elprnql 6810 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
3330, 31, 32syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴Q)
34 1pi 6644 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜N
35 nnppipi 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
363, 34, 35sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
37 opelxpi 4423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
3834, 37mpan2 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
39 enqex 6689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q ∈ V
4039ecelqsi 6249 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6677 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2176 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
44 simplr3 983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃Q)
45 mulclnq 6705 . . . . . . . . . . . 12 (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
4643, 44, 45syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
47 nqnq0a 6783 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴Q ∧ ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4833, 46, 47syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
49 nqnq0m 6784 . . . . . . . . . . . . 13 (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑃Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5043, 44, 49syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
51 nqnq0pi 6767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5352oveq1d 5580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
5450, 53eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5554oveq2d 5581 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5648, 55eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5756eleq1d 2151 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
5857anbi1d 453 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
59 opeq1 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩)
6059eceq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 )
6160oveq1d 5580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
6261oveq2d 5581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
6362eleq1d 2151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
64 oveq1 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜))
6564oveq1d 5580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6665opeq1d 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
6766eceq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
6867oveq1d 5580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6968oveq2d 5581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7069eleq1d 2151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7163, 70anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7271rspcev 2711 . . . . . . . . 9 (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7372ex 113 . . . . . . . 8 ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
746, 73syl 14 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
7558, 74sylbid 148 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
76 opeq1 3591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨𝑦, 1𝑜⟩)
7776eceq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 )
7877oveq1d 5580 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
7978oveq2d 5581 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
8079eleq1d 2151 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
81 oveq1 5572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
8281oveq1d 5580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
8382opeq1d 3597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
8483eceq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
8584oveq1d 5580 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
8685oveq2d 5581 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
8786eleq1d 2151 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
8880, 87anbi12d 457 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
8988cbvrexv 2584 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
9075, 89syl6ib 159 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9129, 90sylan2d 288 . . . 4 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9291expdimp 255 . . 3 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9392adantld 272 . 2 ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9493ex 113 1 (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿𝑃Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354  cop 3420  Oncon0 4147  suc csuc 4149  ωcom 4360   × cxp 4390  (class class class)co 5565  1𝑜c1o 6080  2𝑜c2o 6081   +𝑜 coa 6084  [cec 6193   / cqs 6194  Ncnpi 6601   ~Q ceq 6608  Qcnq 6609   +Q cplq 6611   ·Q cmq 6612   ~Q0 ceq0 6615   +Q0 cplq0 6618   ·Q0 cmq0 6619  Pcnp 6620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-1o 6087  df-2o 6088  df-oadd 6091  df-omul 6092  df-er 6195  df-ec 6197  df-qs 6201  df-ni 6633  df-pli 6634  df-mi 6635  df-plpq 6673  df-mpq 6674  df-enq 6676  df-nqqs 6677  df-plqqs 6678  df-mqqs 6679  df-enq0 6753  df-nq0 6754  df-plq0 6756  df-mq0 6757  df-inp 6795
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