ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcld GIF version

Theorem resubcld 7450
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resubcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 resubcl 7337 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 397 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  (class class class)co 5539  cr 6945  cmin 7244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-neg 7247
This theorem is referenced by:  ltsubadd  7500  lesubadd  7502  ltaddsub  7504  leaddsub  7506  lesub1  7524  lesub2  7525  ltsub1  7526  ltsub2  7527  lt2sub  7528  le2sub  7529  rereim  7650  ltmul1a  7655  cru  7666  lemul1a  7898  ztri3or  8344  lincmb01cmp  8971  iccf1o  8972  rebtwn2z  9210  qbtwnrelemcalc  9211  qbtwnre  9212  intfracq  9269  modqval  9273  modqlt  9282  modqsubdir  9342  serile  9417  expnbnd  9539  crre  9684  remullem  9698  recvguniqlem  9820  resqrexlemover  9836  resqrexlemcalc2  9841  resqrexlemcalc3  9842  resqrexlemnmsq  9843  resqrexlemnm  9844  resqrexlemcvg  9845  resqrexlemglsq  9848  resqrexlemga  9849  fzomaxdiflem  9938  caubnd2  9943  amgm2  9944  icodiamlt  10006  qdenre  10028  mulcn2  10063  climle  10084  climsqz  10085  climsqz2  10086  climcvg1nlem  10098
  Copyright terms: Public domain W3C validator