Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfilem GIF version

Theorem ssfilem 6432
 Description: Lemma for ssfiexmid 6433. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfilem.1 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
Assertion
Ref Expression
ssfilem (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑧

Proof of Theorem ssfilem
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfilem.1 . . 3 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2 isfi 6330 . . 3 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛)
31, 2mpbi 143 . 2 𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛
4 0elnn 4386 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛))
5 breq2 3809 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅))
6 en0 6364 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ ∅ ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
75, 6syl6bb 194 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅))
87biimpac 292 . . . . . . . 8 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅)
9 rabeq0 3290 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
10 0ex 3925 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
1110snm 3528 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 ∈ {∅}
12 r19.3rmv 3348 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤 𝑤 ∈ {∅} → (¬ 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑))
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ {∅} ¬ 𝜑)
149, 13bitr4i 185 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} = ∅ ↔ ¬ 𝜑)
158, 14sylib 120 . . . . . . 7 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → ¬ 𝜑)
1615olcd 686 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 = ∅) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
17 ensym 6350 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
18 elex2 2624 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝑛 → ∃𝑥 𝑥𝑛)
19 enm 6386 . . . . . . . 8 ((𝑛 ≈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∧ ∃𝑥 𝑥𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
2017, 18, 19syl2an 283 . . . . . . 7 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑})
21 biidd 170 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝜑𝜑))
2221elrab 2757 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ {∅} ∧ 𝜑))
2322simprbi 269 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → 𝜑)
2423orcd 685 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2524exlimiv 1530 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2620, 25syl 14 . . . . . 6 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ ∅ ∈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2716, 26jaodan 744 . . . . 5 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 ∧ (𝑛 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑛)) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
284, 27sylan2 280 . . . 4 (({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛𝑛 ∈ ω) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2928ancoms 264 . . 3 ((𝑛 ∈ ω ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛) → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
3029rexlimiva 2477 . 2 (∃𝑛 ∈ ω {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≈ 𝑛 → (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
313, 30ax-mp 7 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   = wceq 1285  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  ∃wrex 2354  {crab 2357  ∅c0 3267  {csn 3416   class class class wbr 3805  ωcom 4359   ≈ cen 6307  Fincfn 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-er 6194  df-en 6310  df-fin 6312 This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6433  domfiexmid  6435
 Copyright terms: Public domain W3C validator