ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ztri3or GIF version

Theorem ztri3or 8222
Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ztri3or ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem ztri3or
StepHypRef Expression
1 zsubcl 8220 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2 ztri3or0 8221 . . 3 ((𝑀𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀𝑁) < 0 ∨ (𝑀𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀𝑁)))
31, 2syl 14 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) < 0 ∨ (𝑀𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀𝑁)))
4 zre 8183 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 261 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 zre 8183 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
76adantl 262 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
85, 7posdifd 7463 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑀)))
97, 5resubcld 7320 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
109lt0neg2d 7448 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁𝑀) ↔ -(𝑁𝑀) < 0))
117recnd 6996 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
125recnd 6996 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
1311, 12negsubdi2d 7279 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝑁𝑀) = (𝑀𝑁))
1413breq1d 3770 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝑁𝑀) < 0 ↔ (𝑀𝑁) < 0))
158, 10, 143bitrd 203 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁) < 0))
1612, 11subeq0ad 7273 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
1716bicomd 129 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁) = 0))
187, 5posdifd 7463 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀𝑁)))
1915, 17, 183orbi123d 1206 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀𝑁) < 0 ∨ (𝑀𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀𝑁))))
203, 19mpbird 156 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3o 884   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3760  (class class class)co 5473  cr 6831  0cc0 6832   < clt 7002  cmin 7124  -cneg 7125  cz 8179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3868  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141  ax-setind 4230  ax-iinf 4272  ax-cnex 6918  ax-resscn 6919  ax-1cn 6920  ax-1re 6921  ax-icn 6922  ax-addcl 6923  ax-addrcl 6924  ax-mulcl 6925  ax-addcom 6927  ax-addass 6929  ax-distr 6931  ax-i2m1 6932  ax-0id 6935  ax-rnegex 6936  ax-cnre 6938  ax-pre-ltirr 6939  ax-pre-ltwlin 6940  ax-pre-lttrn 6941  ax-pre-ltadd 6943
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-iun 3655  df-br 3761  df-opab 3815  df-mpt 3816  df-tr 3851  df-eprel 4022  df-id 4026  df-po 4029  df-iso 4030  df-iord 4074  df-on 4076  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-rel 4313  df-cnv 4314  df-co 4315  df-dm 4316  df-rn 4317  df-res 4318  df-ima 4319  df-iota 4828  df-fun 4865  df-fn 4866  df-f 4867  df-f1 4868  df-fo 4869  df-f1o 4870  df-fv 4871  df-riota 5429  df-ov 5476  df-oprab 5477  df-mpt2 5478  df-1st 5728  df-2nd 5729  df-recs 5881  df-irdg 5918  df-1o 5962  df-2o 5963  df-oadd 5966  df-omul 5967  df-er 6065  df-ec 6067  df-qs 6071  df-ni 6345  df-pli 6346  df-mi 6347  df-lti 6348  df-plpq 6385  df-mpq 6386  df-enq 6388  df-nqqs 6389  df-plqqs 6390  df-mqqs 6391  df-1nqqs 6392  df-rq 6393  df-ltnqqs 6394  df-enq0 6465  df-nq0 6466  df-0nq0 6467  df-plq0 6468  df-mq0 6469  df-inp 6507  df-i1p 6508  df-iplp 6509  df-iltp 6511  df-enr 6754  df-nr 6755  df-ltr 6758  df-0r 6759  df-1r 6760  df-0 6839  df-1 6840  df-r 6842  df-lt 6845  df-pnf 7004  df-mnf 7005  df-xr 7006  df-ltxr 7007  df-le 7008  df-sub 7126  df-neg 7127  df-inn 7853  df-n0 8116  df-z 8180
This theorem is referenced by:  zletric  8223  zlelttric  8224  zltnle  8225  zleloe  8226  zapne  8249  zdceq  8250  zdcle  8251  zdclt  8252  uzm1  8437
  Copyright terms: Public domain W3C validator