Theorem ztri3or 8552

Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem ztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 8550	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2		ztri3or0 8551	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
4		zre 8513	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 8513	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	5, 7	posdifd 7776	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
9	7, 5	resubcld 7629	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
10	9	lt0neg2d 7761	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁 − 𝑀) ↔ -(𝑁 − 𝑀) < 0))
11	7	recnd 7286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	5	recnd 7286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubdi2d 7579	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝑁 − 𝑀) = (𝑀 − 𝑁))
14	13	breq1d 3816	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝑁 − 𝑀) < 0 ↔ (𝑀 − 𝑁) < 0))
15	8, 10, 14	3bitrd 212	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 − 𝑁) < 0))
16	12, 11	subeq0ad 7573	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
17	16	bicomd 139	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
18	7, 5	posdifd 7776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀 − 𝑁)))
19	15, 17, 18	3orbi123d 1243	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 − 𝑁) < 0 ∨ (𝑀 − 𝑁) = 0 ∨ 0 < (𝑀 − 𝑁))))
20	3, 19	mpbird 165	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ w3o 919   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565  ℝcr 7119  0cc0 7120   < clt 7292   − cmin 7423  -cneg 7424  ℤcz 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510

This theorem is referenced by:  zletric  8553  zlelttric  8554  zltnle  8555  zleloe  8556  zapne  8580  zdceq  8581  zdcle  8582  zdclt  8583  uzm1  8807  qtri3or  9406  divalglemeunn  10553  divalglemeuneg  10555  znege1  10788