MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3onn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3onn 7890
Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
3onn 3𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 3onn
StepHypRef Expression
1 df-3o 7731 . 2 3𝑜 = suc 2𝑜
2 2onn 7889 . . 3 2𝑜 ∈ ω
3 peano2 7251 . . 3 (2𝑜 ∈ ω → suc 2𝑜 ∈ ω)
42, 3ax-mp 5 . 2 suc 2𝑜 ∈ ω
51, 4eqeltri 2835 1 3𝑜 ∈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  suc csuc 5886  ωcom 7230  2𝑜c2o 7723  3𝑜c3o 7724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-om 7231  df-1o 7729  df-2o 7730  df-3o 7731
This theorem is referenced by:  4onn  7891  en4  8363  hash4  13387  hash3tr  13464
  Copyright terms: Public domain W3C validator