Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem9 34715
Description: Lemma for 4at 34725. Substitute 𝑊 for 𝑆. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem9
StepHypRef Expression
1 simp11 1090 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp22 1094 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑆𝐴)
3 simp23 1095 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊𝐴)
4 hllat 34476 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp1 1060 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
7 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 34479 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
116, 10syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12 simp21 1093 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑅𝐴)
137, 9atbase 34402 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
157, 8latjcl 17045 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
165, 11, 14, 15syl3anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
17 simp3 1062 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
18 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
197, 18, 8, 9hlexchb2 34497 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑊𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) = (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
201, 2, 3, 16, 17, 19syl131anc 1338 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) = (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2118, 8, 94atlem4d 34714 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
226, 12, 3, 21syl12anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2322breq2d 4663 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) ↔ 𝑆 (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2418, 8, 94atlem4d 34714 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
256, 12, 2, 24syl12anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2625, 22eqeq12d 2636 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) ↔ (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) = (𝑊 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
2720, 23, 263bitr4d 300 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  lecple 15942  joincjn 16938  Latclat 17039  Atomscatm 34376  HLchlt 34463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-preset 16922  df-poset 16940  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-lat 17040  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464
This theorem is referenced by:  4atlem10b  34717
  Copyright terms: Public domain W3C validator