MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulgt0 9861
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 9767 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axmulgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axmulgt0
StepHypRef Expression
1 ax-pre-mulgt0 9767 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
2 0re 9794 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 ltxrlt 9857 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
42, 3mpan 701 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
5 ltxrlt 9857 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < 𝐵))
62, 5mpan 701 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < 𝐵))
74, 6bi2anan9 912 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
8 remulcl 9775 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
9 ltxrlt 9857 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
102, 8, 9sylancr 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
111, 7, 103imtr4d 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1938   class class class wbr 4481  (class class class)co 6425  cr 9689  0cc0 9690   < cltrr 9694   · cmul 9695   < clt 9828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-mulgt0 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-ltxr 9833
This theorem is referenced by:  mulgt0  9864  mulgt0i  9919  sin02gt0  14628  sinq12gt0  23951
  Copyright terms: Public domain W3C validator