Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsup 10073
 Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 9974 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axsup ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem axsup
StepHypRef Expression
1 ax-pre-sup 9974 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
213expia 1264 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3 ssel2 3583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
4 ltxrlt 10068 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
53, 4sylan 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
65an32s 845 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
76ralbidva 2981 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
87rexbidva 3044 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
98adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
10 ltxrlt 10068 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
1110ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
123, 11sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
1312an32s 845 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
1413notbid 308 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
1514ralbidva 2981 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
164ancoms 469 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
1716adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑥))
18 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
19 ltxrlt 10068 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑧))
2019ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑧))
2118, 20sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑧))
2221an32s 845 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝑧))
2322rexbidva 3044 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2423adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2517, 24imbi12d 334 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2625ralbidva 2981 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2715, 26anbi12d 746 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
2827rexbidva 3044 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
2928adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
302, 9, 293imtr4d 283 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
31303impia 1258 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897   class class class wbr 4623  ℝcr 9895   <ℝ cltrr 9900   < clt 10034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039 This theorem is referenced by:  dedekind  10160  sup2  10939
 Copyright terms: Public domain W3C validator