Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdayelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdayelon 31543
Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
bdayelon ( bday 𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon
StepHypRef Expression
1 bdayfun 31539 . . 3 Fun bday
2 fvelrn 6308 . . . 4 ((Fun bday 𝐴 ∈ dom bday ) → ( bday 𝐴) ∈ ran bday )
3 bdayrn 31540 . . . 4 ran bday = On
42, 3syl6eleq 2708 . . 3 ((Fun bday 𝐴 ∈ dom bday ) → ( bday 𝐴) ∈ On)
51, 4mpan 705 . 2 (𝐴 ∈ dom bday → ( bday 𝐴) ∈ On)
6 ndmfv 6175 . . 3 𝐴 ∈ dom bday → ( bday 𝐴) = ∅)
7 0elon 5737 . . 3 ∅ ∈ On
86, 7syl6eqel 2706 . 2 𝐴 ∈ dom bday → ( bday 𝐴) ∈ On)
95, 8pm2.61i 176 1 ( bday 𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384  wcel 1987  c0 3891  dom cdm 5074  ran crn 5075  Oncon0 5682  Fun wfun 5841  cfv 5847   bday cbday 31496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-1o 7505  df-no 31497  df-bday 31499
This theorem is referenced by:  fvnobday  31545  nodenselem3  31546  nodenselem4  31547  nodenselem6  31549  nodense  31552  nocvxminlem  31553  nobndlem2  31556  nobndlem4  31558  nobndlem5  31559  nobndlem6  31560  nobndlem8  31562
  Copyright terms: Public domain W3C validator