Theorem bralnfn 29725

Description: The Dirac bra function is a linear functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bralnfn	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Proof of Theorem bralnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafn 29724	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
2		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		hvmulcl 28790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4	3	ad2ant2lr 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
5		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
6		braadd 29722	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
8		bramul 29723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
9	8	3expa 1114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
10	9	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
11	10	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘(𝑥 ·ℎ 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
12	7, 11	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
13	12	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
14	13	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
15		ellnfn 29660	. 2 ⊢ ((bra‘𝐴) ∈ LinFn ↔ ((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧))))
16	1, 14, 15	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   + caddc 10540   · cmul 10542   ℋchba 28696   +_ℎ cva 28697   ·_ℎ csm 28698  LinFnclf 28731  bracbr 28733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hfvmul 28782  ax-hfi 28856  ax-his2 28860  ax-his3 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8408  df-lnfn 29625  df-bra 29627

This theorem is referenced by:  rnbra  29884  kbass4  29896