HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcl 27088
Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 27080 . 2 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 6641 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9791  chil 26994   · csm 26996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828  ax-hfvmul 27080
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530
This theorem is referenced by:  hvmulcli  27089  hvsubf  27090  hvsubcl  27092  hv2neg  27103  hvaddsubval  27108  hvsub4  27112  hvaddsub12  27113  hvpncan  27114  hvaddsubass  27116  hvsubass  27119  hvsubdistr1  27124  hvsubdistr2  27125  hvaddeq0  27144  hvmulcan  27147  hvmulcan2  27148  hvsubcan  27149  his5  27161  his35  27163  hiassdi  27166  his2sub  27167  hilablo  27235  helch  27318  ocsh  27360  h1de2ci  27633  spansncol  27645  spanunsni  27656  mayete3i  27805  homcl  27823  homulcl  27836  unoplin  27997  hmoplin  28019  bramul  28023  bralnfn  28025  brafnmul  28028  kbop  28030  kbmul  28032  lnopmul  28044  lnopaddmuli  28050  lnopsubmuli  28052  lnopmulsubi  28053  0lnfn  28062  nmlnop0iALT  28072  lnopmi  28077  lnophsi  28078  lnopcoi  28080  lnopeq0i  28084  nmbdoplbi  28101  nmcexi  28103  nmcoplbi  28105  lnfnmuli  28121  lnfnaddmuli  28122  nmbdfnlbi  28126  nmcfnlbi  28129  nlelshi  28137  riesz3i  28139  cnlnadjlem2  28145  cnlnadjlem6  28149  adjlnop  28163  nmopcoi  28172  branmfn  28182  cnvbramul  28192  kbass2  28194  kbass5  28197  superpos  28431  cdj1i  28510
  Copyright terms: Public domain W3C validator