HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcl 27998
Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvmulcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 27990 . 2 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 6807 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  chil 27904   · csm 27906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-hfvmul 27990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693
This theorem is referenced by:  hvmulcli  27999  hvsubf  28000  hvsubcl  28002  hv2neg  28013  hvaddsubval  28018  hvsub4  28022  hvaddsub12  28023  hvpncan  28024  hvaddsubass  28026  hvsubass  28029  hvsubdistr1  28034  hvsubdistr2  28035  hvaddeq0  28054  hvmulcan  28057  hvmulcan2  28058  hvsubcan  28059  his5  28071  his35  28073  hiassdi  28076  his2sub  28077  hilablo  28145  helch  28228  ocsh  28270  h1de2ci  28543  spansncol  28555  spanunsni  28566  mayete3i  28715  homcl  28733  homulcl  28746  unoplin  28907  hmoplin  28929  bramul  28933  bralnfn  28935  brafnmul  28938  kbop  28940  kbmul  28942  lnopmul  28954  lnopaddmuli  28960  lnopsubmuli  28962  lnopmulsubi  28963  0lnfn  28972  nmlnop0iALT  28982  lnopmi  28987  lnophsi  28988  lnopcoi  28990  lnopeq0i  28994  nmbdoplbi  29011  nmcexi  29013  nmcoplbi  29015  lnfnmuli  29031  lnfnaddmuli  29032  nmbdfnlbi  29036  nmcfnlbi  29039  nlelshi  29047  riesz3i  29049  cnlnadjlem2  29055  cnlnadjlem6  29059  adjlnop  29073  nmopcoi  29082  branmfn  29092  cnvbramul  29102  kbass2  29104  kbass5  29107  superpos  29341  cdj1i  29420
  Copyright terms: Public domain W3C validator