Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  breprexplemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem breprexplemb 31018
Description: Lemma for breprexp 31020 (closure) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
breprexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
breprexp.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
breprexp.z (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
breprexp.h (𝜑𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
breprexplemb.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝑆))
breprexplemb.y (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
breprexplemb (𝜑 → ((𝐿𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)

Proof of Theorem breprexplemb
StepHypRef Expression
1 breprexp.h . . . 4 (𝜑𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
2 breprexplemb.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝑆))
31, 2ffvelrnd 6523 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝑋) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
4 cnex 10209 . . . 4 ℂ ∈ V
5 nnex 11218 . . . 4 ℕ ∈ V
64, 5elmap 8052 . . 3 ((𝐿𝑋) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (𝐿𝑋):ℕ⟶ℂ)
73, 6sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐿𝑋):ℕ⟶ℂ)
8 breprexplemb.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℕ)
97, 8ffvelrnd 6523 1 (𝜑 → ((𝐿𝑋)‘𝑌) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cc 10126  0cc0 10128  cn 11212  0cn0 11484  ..^cfzo 12659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-map 8025  df-nn 11213
This theorem is referenced by:  breprexplemc  31019  circlemeth  31027
  Copyright terms: Public domain W3C validator