MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  card0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem card0 8728
Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
card0 (card‘∅) = ∅

Proof of Theorem card0
StepHypRef Expression
1 0elon 5737 . . 3 ∅ ∈ On
2 cardonle 8727 . . 3 (∅ ∈ On → (card‘∅) ⊆ ∅)
31, 2ax-mp 5 . 2 (card‘∅) ⊆ ∅
4 ss0b 3945 . 2 ((card‘∅) ⊆ ∅ ↔ (card‘∅) = ∅)
53, 4mpbi 220 1 (card‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  c0 3891  Oncon0 5682  cfv 5847  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-en 7900  df-card 8709
This theorem is referenced by:  cardidm  8729  cardnueq0  8734  alephcard  8837  ackbij2lem2  9006  cf0  9017  cardcf  9018  cardeq0  9318
  Copyright terms: Public domain W3C validator