MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  card0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem card0 9376
Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
card0 (card‘∅) = ∅

Proof of Theorem card0
StepHypRef Expression
1 0elon 6238 . . 3 ∅ ∈ On
2 cardonle 9375 . . 3 (∅ ∈ On → (card‘∅) ⊆ ∅)
31, 2ax-mp 5 . 2 (card‘∅) ⊆ ∅
4 ss0b 4350 . 2 ((card‘∅) ⊆ ∅ ↔ (card‘∅) = ∅)
53, 4mpbi 231 1 (card‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3935  c0 4290  Oncon0 6185  cfv 6349  cardccrd 9353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-en 8499  df-card 9357
This theorem is referenced by:  cardidm  9377  cardnueq0  9382  alephcard  9485  ackbij2lem2  9651  cf0  9662  cardcf  9663  cardeq0  9963
  Copyright terms: Public domain W3C validator