Theorem dftrpred4g 33073

Description: Another recursive expression for the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 27-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred4g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dftrpred4g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred3g 33072	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
2		iunun 5015	. . 3 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋){𝑦} ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
3		iunid 4984	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋){𝑦} = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
4	3	uneq1i 4135	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋){𝑦} ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
5	2, 4	eqtri 2844	. 2 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
6	1, 5	syl6eqr 2874	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)({𝑦} ∪ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3934  {csn 4567  ∪ ciun 4919   Se wse 5512  Predcpred 6147  TrPredctrpred 33056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-trpred 33057

This theorem is referenced by: (None)