Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord2cN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord2cN 35328
Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. TODO: needed? shorten other proof with it? (Contributed by NM, 3-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjust.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjust.l = (le‘𝐾)
dihjust.j = (join‘𝐾)
dihjust.m = (meet‘𝐾)
dihjust.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjust.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjust.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.s = (LSSum‘𝑈)
dihord2c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihord2c.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihord2c.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihord2cN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
Distinct variable groups:   ,𝑓   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,,𝐴   𝑓,𝐼   𝑓,𝐽   𝑅,𝑓   𝐵,𝑓,   𝑓,𝐻,   𝑓,𝐾,   ,𝑓,   𝑇,𝑓,   𝑓,𝑊,   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   ()   𝑅()   𝑈(𝑓,)   𝐼()   𝐽()   ()   ()   𝑂(𝑓,)   𝑋()

Proof of Theorem dihord2cN
StepHypRef Expression
1 simp3 1055 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)))
2 eqidd 2607 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑂 = 𝑂)
3 simp1 1053 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp1l 1077 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
5 hllat 33468 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1054 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑋𝐵)
8 simp1r 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑊𝐻)
9 dihjust.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihjust.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 34102 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → 𝑊𝐵)
13 dihjust.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
149, 13latmcl 16818 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
156, 7, 12, 14syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
16 dihjust.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
179, 16, 13latmle2 16843 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
186, 7, 12, 17syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
19 dihord2c.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
20 dihord2c.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
21 dihord2c.o . . . 4 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
22 dihjust.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
239, 16, 10, 19, 20, 21, 22dibopelval3 35255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑂 = 𝑂)))
243, 15, 18, 23syl12anc 1315 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → (⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)) ↔ ((𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊)) ∧ 𝑂 = 𝑂)))
251, 2, 24mpbir2and 958 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑓𝑇 ∧ (𝑅𝑓) (𝑋 𝑊))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ ∈ (𝐼‘(𝑋 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cop 4127   class class class wbr 4574  cmpt 4634   I cid 4935  cres 5027  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  lecple 15718  joincjn 16710  meetcmee 16711  Latclat 16811  LSSumclsm 17815  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  LHypclh 34088  LTrncltrn 34205  trLctrl 34263  DVecHcdvh 35185  DIsoBcdib 35245  DIsoCcdic 35279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-lat 16812  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-lhyp 34092  df-disoa 35136  df-dib 35246
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator