Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcarsgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcarsgss 29504
Description: Caratheodory measurable sets are subsets of the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
elcarsgss (𝜑𝐴𝑂)

Proof of Theorem elcarsgss
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
31, 2carsgcl 29499 . . 3 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4 difelcarsg.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
53, 4sseldd 3568 . 2 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
65elpwid 4117 1 (𝜑𝐴𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  wss 3539  𝒫 cpw 4107  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  +∞cpnf 9927  [,]cicc 12005  toCaraSigaccarsg 29496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-carsg 29497
This theorem is referenced by:  unelcarsg  29507  difelcarsg2  29508
  Copyright terms: Public domain W3C validator