Theorem eltrpred 33065

Description: A class is a transitive predecessor iff it is in some value of the underlying function. This theorem is not really meant to be used directly: instead refer to trpredpred 33067 and trpredmintr 33070. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eltrpred	⊢ (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∃𝑖 ∈ ω 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑎,𝑦,𝑖   𝐴,𝑎,𝑦,𝑖   𝑋,𝑎,𝑦,𝑖   𝑌,𝑎,𝑦,𝑖

Proof of Theorem eltrpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred2 33058	. . 3 ⊢ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2	1	eleq2i 2904	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))
3		eliun 4923	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ω 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))
4	2, 3	bitri 277	1 ⊢ (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∃𝑖 ∈ ω 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  Vcvv 3494  ∪ ciun 4919   ↦ cmpt 5146   ↾ cres 5557  Predcpred 6147  ‘cfv 6355  ωcom 7580  reccrdg 8045  TrPredctrpred 33056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-trpred 33057

This theorem is referenced by:  trpredtr  33069  trpredrec  33077