MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1eqsnbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1eqsnbi 8348
Description: A set containing an element has exactly one element iff it is a singleton. Formerly part of proof for rngen1zr 19470. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1eqsnbi (𝐴𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = {𝐴}))

Proof of Theorem en1eqsnbi
StepHypRef Expression
1 en1eqsn 8347 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {𝐴})
21ex 449 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = {𝐴}))
3 ensn1g 8178 . . 3 (𝐴𝐵 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
4 breq1 4799 . . 3 (𝐵 = {𝐴} → (𝐵 ≈ 1𝑜 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
53, 4syl5ibrcom 237 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 = {𝐴} → 𝐵 ≈ 1𝑜))
62, 5impbid 202 1 (𝐴𝐵 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐵 = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  {csn 4313   class class class wbr 4796  1𝑜c1o 7714  cen 8110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-om 7223  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  srgen1zr  18722  rngen1zr  19470  rngosn4  34029
  Copyright terms: Public domain W3C validator