Theorem frrlem16 33167

Description: Lemma for general founded recursion. Establish a subset relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
frrlem16	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem frrlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
2		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → 𝑅 Se 𝐴)
3	1, 2	jca 514	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
4		simpr 487	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
5		trpredtr 33093	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
7	6	ralrimiva 3181	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137   ⊆ wss 3933   Fr wfr 5508   Se wse 5509  Predcpred 6144  TrPredctrpred 33080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-om 7578  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-trpred 33081

This theorem is referenced by:  frr1  33168