MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbeldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm 16926
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbeldm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbeldm.l = (le‘𝐾)
glbeldm.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbeldm.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
glbeldm.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
glbeldm (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbeldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 glbeldm.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 glbeldm.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 251 . . . 4 ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
5 glbeldm.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5glbdm 16924 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))})
76eleq2d 2684 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))}))
8 raleq 3130 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦))
9 raleq 3130 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦))
109imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1110ralbidv 2981 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
128, 11anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
1312reubidv 3118 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
14 glbeldm.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1514reubii 3120 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)))
1613, 15syl6bbr 278 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
1716elrab 3350 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
18 fvex 6163 . . . . . 6 (Base‘𝐾) ∈ V
191, 18eqeltri 2694 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019elpw2 4793 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2120anbi1i 730 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2217, 21bitri 264 . 2 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))} ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
237, 22syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ∃!wreu 2909  {crab 2911  Vcvv 3189  wss 3559  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5852  Basecbs 15792  lecple 15880  glbcglb 16875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-glb 16907
This theorem is referenced by:  glbelss  16927  glbeu  16928  glbval  16929
  Copyright terms: Public domain W3C validator