HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsupss 28046
Description: Subset relation for supremum of Hilbert space subsets. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsupss ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴𝐵 → ( 𝐴) ⊆ ( 𝐵)))

Proof of Theorem hsupss
StepHypRef Expression
1 uniss 4424 . . 3 (𝐴𝐵 𝐴 𝐵)
2 sspwuni 4577 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
3 sspwuni 4577 . . . 4 (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ ↔ 𝐵 ⊆ ℋ)
4 occon2 27993 . . . 4 (( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → ( 𝐴 𝐵 → (⊥‘(⊥‘ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ 𝐵))))
52, 3, 4syl2anb 496 . . 3 ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( 𝐴 𝐵 → (⊥‘(⊥‘ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ 𝐵))))
61, 5syl5 34 . 2 ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴𝐵 → (⊥‘(⊥‘ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ 𝐵))))
7 hsupval 28039 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))
87adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( 𝐴) = (⊥‘(⊥‘ 𝐴)))
9 hsupval 28039 . . . 4 (𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ → ( 𝐵) = (⊥‘(⊥‘ 𝐵)))
109adantl 482 . . 3 ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → ( 𝐵) = (⊥‘(⊥‘ 𝐵)))
118, 10sseq12d 3613 . 2 ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (( 𝐴) ⊆ ( 𝐵) ↔ (⊥‘(⊥‘ 𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ 𝐵))))
126, 11sylibrd 249 1 ((𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 ℋ) → (𝐴𝐵 → ( 𝐴) ⊆ ( 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wss 3555  𝒫 cpw 4130   cuni 4402  cfv 5847  chil 27622  cort 27633   chsup 27637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hv0cl 27706  ax-hfvmul 27708  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his2 27786  ax-his3 27787
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sh 27910  df-oc 27955  df-chsup 28016
This theorem is referenced by:  chsupss  28047
  Copyright terms: Public domain W3C validator