MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infglbb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infglbb 8341
Description: Bidirectional form of infglb 8340. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infcl.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
infcl.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
infglbb.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
infglbb ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infglbb
StepHypRef Expression
1 df-inf 8293 . . 3 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
21breq1i 4620 . 2 (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶)
3 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
4 infcl.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
5 cnvso 5633 . . . . . . 7 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
64, 5sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
7 infcl.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
84, 7infcllem 8337 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
96, 8supcl 8308 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
11 brcnvg 5263 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶))
1211bicomd 213 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
133, 10, 12syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
14 infglbb.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
156, 8, 14suplub2 8311 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
16 vex 3189 . . . . 5 𝑧 ∈ V
17 brcnvg 5263 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝑧 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
183, 16, 17sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
1918rexbidv 3045 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2013, 15, 193bitrd 294 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
212, 20syl5bb 272 1 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613   Or wor 4994  ccnv 5073  supcsup 8290  infcinf 8291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-po 4995  df-so 4996  df-cnv 5082  df-iota 5810  df-riota 6565  df-sup 8292  df-inf 8293
This theorem is referenced by:  infregelb  10951  infxrgelb  12108  infxrge0glb  29374  infxrglb  39020  infrglb  39226
  Copyright terms: Public domain W3C validator