Theorem infsdomnn 8779

Description: An infinite set strictly dominates a natural number. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8515	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5608	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
3		nnsdomg 8777	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
4	2, 3	sylan 582	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
5		simpl 485	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
6		sdomdomtr 8650	. 2 ⊢ ((𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
7	4, 5, 6	syl2anc 586	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   class class class wbr 5066  ωcom 7580   ≼ cdom 8507   ≺ csdm 8508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513

This theorem is referenced by:  infn0  8780