MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infsdomnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infsdomnn 8168
Description: An infinite set strictly dominates a natural number. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infsdomnn ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem infsdomnn
StepHypRef Expression
1 reldom 7908 . . . 4 Rel ≼
21brrelexi 5120 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → ω ∈ V)
3 nnsdomg 8166 . . 3 ((ω ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
42, 3sylan 488 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≺ ω)
5 simpl 473 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → ω ≼ 𝐴)
6 sdomdomtr 8040 . 2 ((𝐵 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐵𝐴)
74, 5, 6syl2anc 692 1 ((ω ≼ 𝐴𝐵 ∈ ω) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4615  ωcom 7015  cdom 7900  csdm 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906
This theorem is referenced by:  infn0  8169
  Copyright terms: Public domain W3C validator