Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss2 38871
Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mapss2.a (𝜑𝐴𝑉)
mapss2.b (𝜑𝐵𝑊)
mapss2.c (𝜑𝐶𝑍)
mapss2.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
mapss2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem mapss2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapss2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
3 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 mapss 7844 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
65ex 450 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
7 mapss2.n . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
8 n0 3907 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
97, 8sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
11 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦))
12 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑦)
13 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
14 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 ∈ V)
1611, 12, 13, 15fvmptd 6245 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) = 𝑦)
1716eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
1817ad4ant13 1289 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
19 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
20 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑦𝐴)
21 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦)
2220, 21fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴)
23 mapss2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝑉)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝑉)
25 mapss2.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶𝑍)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶𝑍)
2724, 26elmapd 7816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴))
2822, 27mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2928adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
3019, 29sseldd 3584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
31 elmapi 7823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3332adantlr 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
34 simplr 791 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐶)
3533, 34ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) ∈ 𝐵)
3618, 35eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
3736ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
38 dfss3 3573 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
3937, 38sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
4039ex 450 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝑥𝐶𝐴𝐵))
4140exlimdv 1858 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶𝐴𝐵))
4210, 41mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐴𝐵)
4342ex 450 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴𝐵))
446, 43impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804
This theorem is referenced by:  ovnovollem1  40177  ovnovollem2  40178
  Copyright terms: Public domain W3C validator