MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss 7764
Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7743 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
21adantl 481 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
3 simplr 788 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → 𝐴𝐵)
42, 3fssd 5956 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
5 simpll 786 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → 𝐵𝑉)
6 elmapex 7742 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
76simprd 478 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
95, 8elmapd 7736 . . . 4 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
104, 9mpbird 246 . . 3 (((𝐵𝑉𝐴𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
1110ex 449 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶)))
1211ssrdv 3574 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  wf 5786  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-map 7724
This theorem is referenced by:  mapdom1  7988  ssfin3ds  9013  ingru  9494  resspsrbas  19185  resspsradd  19186  resspsrmul  19187  plyss  23704  eulerpartlem1  29550  eulerpartlemn  29564  poimirlem29  32402  poimirlem30  32403  poimirlem31  32404  poimirlem32  32405  poimir  32406  broucube  32407  diophrw  36134  diophin  36148  diophun  36149  eq0rabdioph  36152  eqrabdioph  36153  rabdiophlem1  36177  diophren  36189  k0004ss1  37263  ixpssmapc  38063  mapss2  38186  difmap  38188  inmap  38190  mapssbi  38194  iunmapss  38196  dvnprodlem2  38631  etransclem24  38945  etransclem25  38946  etransclem26  38947  etransclem28  38949  etransclem35  38956  etransclem37  38958  qndenserrnbllem  38984  qndenserrn  38989  hoissrrn  39233  hoissrrn2  39262  hspmbl  39313  opnvonmbllem2  39317  ovolval2lem  39327  ovolval2  39328  ovolval3  39331  ovolval4lem2  39334  ovnovollem3  39342  vonvolmbl  39345  smfmullem4  39473
  Copyright terms: Public domain W3C validator