Theorem mhpdeg 20329

Description: All nonzero terms of a homogeneous polynomial have degree 𝑁. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpdeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpdeg.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpdeg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpdeg	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑗   𝐷,𝑔   ℎ,𝐼   𝑔,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ,𝑗)   𝐷(ℎ,𝑗)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑗)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑗)   𝐼(𝑔,𝑗)   𝑁(ℎ,𝑗)   𝑉(𝑔,ℎ,𝑗)   𝑊(𝑔,ℎ,𝑗)   𝑋(𝑔,ℎ,𝑗)   0 (𝑔,ℎ,𝑗)

Proof of Theorem mhpdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpdeg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpdeg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		mhpdeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mhpdeg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mhpdeg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpdeg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		mhpdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ismhp 20327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})))
11	10	simplbda 502	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
12	1, 11	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3141   ⊆ wss 3929  ^◡ccnv 5547   “ cima 5551  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   supp csupp 7823   ↑_m cmap 8399  Fincfn 8502  ℕcn 11631  ℕ₀cn0 11891  Σcsu 15035  Basecbs 16476  0_gc0g 16706   mPoly cmpl 20126   mHomP cmhp 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-1cn 10588  ax-addcl 10590

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-nn 11632  df-n0 11892  df-mhp 20319

This theorem is referenced by:  mhpaddcl  20331  mhpinvcl  20332  mhpvscacl  20334