Theorem mhpvscacl 20334

Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvscacl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mhpvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mhpvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpvscacl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		mhpvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		mhpvscacl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	3	mpllmod 20224	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
5	1, 2, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
6		mhpvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
7		mhpvscacl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	eleqtrdi 2922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
9	3, 1, 2	mplsca 20218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10	9	fveq2d 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
11	8, 10	eleqtrd 2914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
12		mhpvscacl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
13		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14		mhpvscacl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		mhpvscacl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
16	12, 3, 13, 1, 2, 14, 15	mhpmpl 20328	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
18		mhpvscacl.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
19		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
20	13, 17, 18, 19	lmodvscl 19644	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
21	5, 11, 16, 20	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
23	3, 7, 13, 22, 21	mplelf 20206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
24		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26	16	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
27		eldifi 4096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
28	27	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
29	3, 18, 7, 13, 24, 22, 25, 26, 28	mplvscaval 20221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)))
30	3, 7, 13, 22, 16	mplelf 20206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
31		ssidd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
32		ovexd 7184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
33	22, 32	rabexd 5229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
34		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
35	30, 31, 33, 34	suppssr 7854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
36	35	oveq2d 7165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)) = (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
37		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
38	7, 24, 37	ringrz 19331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	2, 6, 38	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	39	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	29, 36, 40	3eqtrd 2859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g‘𝑅))
42	23, 41	suppss 7853	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
43	12, 37, 22, 1, 2, 14, 15	mhpdeg 20329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
44	42, 43	sstrd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
45	12, 3, 13, 37, 22, 1, 2, 14	ismhp 20327	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ((𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})))
46	21, 44, 45	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3141  Vcvv 3491   ∖ cdif 3926   ⊆ wss 3929  ^◡ccnv 5547   “ cima 5551  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   supp csupp 7823   ↑_m cmap 8399  Fincfn 8502  ℕcn 11631  ℕ₀cn0 11891  Σcsu 15035  Basecbs 16476  ._rcmulr 16559  Scalarcsca 16561   ·_𝑠 cvsca 16562  0_gc0g 16706  Ringcrg 19290  LModclmod 19627   mPoly cmpl 20126   mHomP cmhp 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-tset 16577  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-subg 18269  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-psr 20129  df-mpl 20131  df-mhp 20319

This theorem is referenced by:  mhplss  20335