Theorem mulidpi 10308

Description: 1 is an identity element for multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulidpi	⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem mulidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 10305	. . 3 ⊢ 1o ∈ N
2		mulpiord 10307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = (𝐴 ·o 1o))
4		pinn 10300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
5		nnm1 8275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	3, 6	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ωcom 7580  1_oc1o 8095   ·_o comu 8100  Ncnpi 10266   ·_N cmi 10268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-ni 10294  df-mi 10296

This theorem is referenced by:  1nqenq  10384  mulidnq  10385  1lt2nq  10395  archnq  10402  prlem934  10455