MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf4 9131
Description: ω is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4 ¬ ω ∈ FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (ω ∈ FinIV → ω ∈ FinIV)
2 peano1 7082 . . . 4 ∅ ∈ ω
3 difsnpss 4336 . . . 4 (∅ ∈ ω ↔ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω)
42, 3mpbi 220 . . 3 (ω ∖ {∅}) ⊊ ω
5 limom 7077 . . . . 5 Lim ω
65limenpsi 8132 . . . 4 (ω ∈ FinIV → ω ≈ (ω ∖ {∅}))
76ensymd 8004 . . 3 (ω ∈ FinIV → (ω ∖ {∅}) ≈ ω)
8 fin4i 9117 . . 3 (((ω ∖ {∅}) ⊊ ω ∧ (ω ∖ {∅}) ≈ ω) → ¬ ω ∈ FinIV)
94, 7, 8sylancr 695 . 2 (ω ∈ FinIV → ¬ ω ∈ FinIV)
101, 9pm2.65i 185 1 ¬ ω ∈ FinIV
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1989  cdif 3569  wpss 3573  c0 3913  {csn 4175   class class class wbr 4651  ωcom 7062  cen 7949  FinIVcfin4 9099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-om 7063  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-fin4 9106
This theorem is referenced by:  infpssALT  9132
  Copyright terms: Public domain W3C validator