Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onfrALTlem2VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onfrALTlem2VD 38647
Description: Virtual deduction proof of onfrALTlem2 38282. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. onfrALTlem2 38282 is onfrALTlem2VD 38647 without virtual deductions and was automatically derived from onfrALTlem2VD 38647.
1:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   )
2:1: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑦)   )
3:2: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑎   )
4:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
5:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   )
6:5: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥𝑎   )
7:4: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 On   )
8:6,7: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
9:8: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
10:9: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
11:1: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
12:11: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦𝑥   )
13:2: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑦   )
14:10,12,13: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑥   )
15:3,14: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑥)   )
16:13,15: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
17:16: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
18:17: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
19:18: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
20:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
21:20: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
22:19,21: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) = ∅   )
23:20: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
24:23: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   𝑦𝑎   )
25:22,24: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅), (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)   ▶   (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
26:25: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
27:26: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
28:27: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥 ) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
29:: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅   )
30:29: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) 𝑦) = ∅)   )
31:28,30: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
qed:31: (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥 𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦𝑎(𝑎𝑦) = ∅   )
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
onfrALTlem2VD (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅   )
Distinct variable groups:   𝑦,𝑎   𝑥,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem2VD
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn3 38361 . . . . . . . . . . . . . 14 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   )
2 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))
31, 2e3 38485 . . . . . . . . . . . . 13 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑦)   )
4 inss2 3818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑦) ⊆ 𝑦
54sseli 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧𝑦)
63, 5e3 38485 . . . . . . . . . . . 12 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑦   )
7 inss1 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑦) ⊆ 𝑎
87sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧𝑎)
93, 8e3 38485 . . . . . . . . . . . . 13 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑎   )
10 idn2 38359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   )
11 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅) → 𝑥𝑎)
1210, 11e2 38377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥𝑎   )
13 idn1 38311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   )
14 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ On)
1513, 14e1a 38373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ▶   𝑎 ⊆ On   )
16 ssel 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ⊆ On → (𝑥𝑎𝑥 ∈ On))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑎 → (𝑎 ⊆ On → 𝑥 ∈ On))
1812, 15, 17e21 38478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑥 ∈ On   )
19 eloni 5702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
2018, 19e2 38377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Ord 𝑥   )
21 ordtr 5706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
2220, 21e2 38377 . . . . . . . . . . . . . 14 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   Tr 𝑥   )
23 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑎𝑥))
241, 23e3 38485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
25 inss2 3818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑥) ⊆ 𝑥
2625sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) → 𝑦𝑥)
2724, 26e3 38485 . . . . . . . . . . . . . 14 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑦𝑥   )
28 trel 4729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Tr 𝑥 → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2928expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . 14 (Tr 𝑥 → (𝑦𝑥 → (𝑧𝑦𝑧𝑥)))
3022, 27, 6, 29e233 38513 . . . . . . . . . . . . 13 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧𝑥   )
31 elin 3780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑎𝑥) ↔ (𝑧𝑎𝑧𝑥))
3231simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑎 → (𝑧𝑥𝑧 ∈ (𝑎𝑥)))
339, 30, 32e33 38482 . . . . . . . . . . . 12 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ (𝑎𝑥)   )
34 elin 3780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ (𝑎𝑥) ∧ 𝑧𝑦))
3534simplbi2com 656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑎𝑥) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)))
366, 33, 35e33 38482 . . . . . . . . . . 11 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎𝑦))   ▶   𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
3736in3an 38357 . . . . . . . . . 10 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
3837gen31 38367 . . . . . . . . 9 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))   )
39 dfss2 3577 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)))
4039biimpri 218 . . . . . . . . 9 (∀𝑧(𝑧 ∈ (𝑎𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)) → (𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦))
4138, 40e3 38485 . . . . . . . 8 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)   )
42 idn3 38361 . . . . . . . . 9 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
43 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
4442, 43e3 38485 . . . . . . . 8 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
45 sseq0 3953 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑎𝑦) = ∅)
4645ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑦) ⊆ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) → (((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → (𝑎𝑦) = ∅))
4741, 44, 46e33 38482 . . . . . . 7 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑎𝑦) = ∅   )
48 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ (𝑎𝑥))
4942, 48e3 38485 . . . . . . . 8 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)   )
50 inss1 3817 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑥) ⊆ 𝑎
5150sseli 3584 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) → 𝑦𝑎)
5249, 51e3 38485 . . . . . . 7 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   𝑦𝑎   )
53 pm3.21 464 . . . . . . 7 ((𝑎𝑦) = ∅ → (𝑦𝑎 → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)))
5447, 52, 53e33 38482 . . . . . 6 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ,   (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   ▶   (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
5554in3 38355 . . . . 5 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   ((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
5655gen21 38365 . . . 4 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
57 exim 1758 . . . 4 (∀𝑦((𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → (𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)))
5856, 57e2 38377 . . 3 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))   )
59 onfrALTlem3VD 38645 . . . 4 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅   )
60 df-rex 2914 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
6160biimpi 206 . . . 4 (∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
6259, 61e2 38377 . . 3 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)   )
63 id 22 . . 3 ((∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)))
6458, 62, 63e22 38417 . 2 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅)   )
65 df-rex 2914 . . 3 (∃𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅))
6665biimpri 218 . 2 (∃𝑦(𝑦𝑎 ∧ (𝑎𝑦) = ∅) → ∃𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅)
6764, 66e2 38377 1 (   (𝑎 ⊆ On ∧ 𝑎 ≠ ∅)   ,   (𝑥𝑎 ∧ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)   ▶   𝑦𝑎 (𝑎𝑦) = ∅   )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  cin 3559  wss 3560  c0 3897  Tr wtr 4722  Ord word 5691  Oncon0 5692  (   wvd2 38314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-ord 5695  df-on 5696  df-vd1 38307  df-vd2 38315  df-vd3 38327
This theorem is referenced by:  onfrALTVD  38649
  Copyright terms: Public domain W3C validator