Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtt1 21096
 Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 20917 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2 snssi 4310 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4 sseqin2 3797 . . . . . . 7 ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
53, 4sylib 208 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6 velsn 4166 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑅 = dom 𝑅
87psref 17132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
109, 9jca 554 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
11 breq2 4619 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅𝑥))
12 breq1 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
1311, 12anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥)))
1410, 13syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
15 psasym 17134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
1615eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17163expib 1265 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1817ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1914, 18impbid 202 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
206, 19syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
2120rabbi2dva 3801 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
225, 21eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
237ordtcld3 20916 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24233anidm23 1382 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2522, 24eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2625ralrimiva 2960 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
277ordttopon 20910 . . . . 5 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28 toponuni 20641 . . . . 5 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
3029raleqdv 3133 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → (∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
3126, 30mpbid 222 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
32 eqid 2621 . . 3 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
3332ist1 21038 . 2 ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
341, 31, 33sylanbrc 697 1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ∩ cin 3555   ⊆ wss 3556  {csn 4150  ∪ cuni 4404   class class class wbr 4615  dom cdm 5076  ‘cfv 5849  ordTopcordt 16083  PosetRelcps 17122  Topctop 20620  TopOnctopon 20637  Clsdccld 20733  Frect1 21024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-fi 8264  df-topgen 16028  df-ordt 16085  df-ps 17124  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cld 20736  df-t1 21031 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator