MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtt1 21096
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 20917 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2 snssi 4310 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4 sseqin2 3797 . . . . . . 7 ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
53, 4sylib 208 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6 velsn 4166 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑅 = dom 𝑅
87psref 17132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
109, 9jca 554 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
11 breq2 4619 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅𝑥))
12 breq1 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
1311, 12anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥)))
1410, 13syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
15 psasym 17134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
1615eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17163expib 1265 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1817ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1914, 18impbid 202 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
206, 19syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
2120rabbi2dva 3801 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
225, 21eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
237ordtcld3 20916 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24233anidm23 1382 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2522, 24eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2625ralrimiva 2960 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
277ordttopon 20910 . . . . 5 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28 toponuni 20641 . . . . 5 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
3029raleqdv 3133 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → (∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
3126, 30mpbid 222 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
32 eqid 2621 . . 3 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
3332ist1 21038 . 2 ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
341, 31, 33sylanbrc 697 1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cin 3555  wss 3556  {csn 4150   cuni 4404   class class class wbr 4615  dom cdm 5076  cfv 5849  ordTopcordt 16083  PosetRelcps 17122  Topctop 20620  TopOnctopon 20637  Clsdccld 20733  Frect1 21024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-fi 8264  df-topgen 16028  df-ordt 16085  df-ps 17124  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cld 20736  df-t1 21031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator