MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmo 21384
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
lmmo.4 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
lmmo.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
Assertion
Ref Expression
lmmo (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 900 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐽𝑦𝐽) ∧ (𝐴𝑥𝐵𝑦)) ↔ ((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)))
2 nnuz 11914 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝐴𝑥)
4 1zzd 11598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 1 ∈ ℤ)
5 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴)
7 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → 𝑥𝐽)
82, 3, 4, 6, 7lmcvg 21266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝐴𝑥)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥)
98ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐽𝐴𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
10 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝐵𝑦)
11 1zzd 11598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 1 ∈ ℤ)
12 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵)
14 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → 𝑦𝐽)
152, 10, 11, 13, 14lmcvg 21266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦)
1615ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝐵𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
179, 16anim12d 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦)))
182rexanuz2 14286 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
19 nnz 11589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
20 uzid 11892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
21 ne0i 4062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ≠ ∅)
23 r19.2z 4202 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
24 elin 3937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦))
25 n0i 4061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2624, 25sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2726rexlimivw 3165 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
2922, 28sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3029rexlimiva 3164 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3118, 30sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅)
3217, 31syl6 35 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝐴𝑥) ∧ (𝑦𝐽𝐵𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
331, 32syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐽𝑦𝐽) ∧ (𝐴𝑥𝐵𝑦)) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
3433expdimp 452 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐴𝑥𝐵𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅))
35 imnan 437 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥𝐵𝑦) → ¬ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ¬ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3634, 35sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ¬ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
37 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ((𝐴𝑥𝐵𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3836, 37sylnibr 318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ¬ (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
3938anassrs 683 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐽) ∧ 𝑦𝐽) → ¬ (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
4039nrexdv 3137 . . 3 ((𝜑𝑥𝐽) → ¬ ∃𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
4140nrexdv 3137 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
42 lmmo.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
43 haustop 21335 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
45 eqid 2758 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
4645toptopon 20922 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4744, 46sylib 208 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
48 lmcl 21301 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐴) → 𝐴 𝐽)
4947, 5, 48syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝐴 𝐽)
50 lmcl 21301 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝐵) → 𝐵 𝐽)
5147, 12, 50syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝐵 𝐽)
5245hausnei 21332 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝐴 𝐽𝐵 𝐽𝐴𝐵)) → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
53523exp2 1448 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → (𝐴 𝐽 → (𝐵 𝐽 → (𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅)))))
5442, 49, 51, 53syl3c 66 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅)))
5554necon1bd 2948 . 2 (𝜑 → (¬ ∃𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝐴𝑥𝐵𝑦 ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝐴 = 𝐵))
5641, 55mpd 15 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  cin 3712  c0 4056   cuni 4586   class class class wbr 4802  cfv 6047  1c1 10127  cn 11210  cz 11567  cuz 11877  Topctop 20898  TopOnctopon 20915  𝑡clm 21230  Hauscha 21312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-z 11568  df-uz 11878  df-top 20899  df-topon 20916  df-lm 21233  df-haus 21319
This theorem is referenced by:  lmfun  21385  occllem  28469  nlelchi  29227  hmopidmchi  29317
  Copyright terms: Public domain W3C validator