Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss2 34923
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss2 3776 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss2 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem paddss2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3589 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim2d 884 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑍𝑝𝑋) → (𝑝𝑍𝑝𝑌)))
3 ssrexv 3659 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌 → (∃𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43reximdv 3013 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
54anim2d 588 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
62, 5orim12d 882 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
76adantl 482 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
8 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
9 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
10 sstr 3603 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
11103ad2antr2 1225 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
1211ancoms 469 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
13 eqid 2620 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14 eqid 2620 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1713, 14, 15, 16elpadd 34904 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝐴𝑋𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
188, 9, 12, 17syl3anc 1324 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑋) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
19 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌𝐴)
2013, 14, 15, 16elpadd 34904 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
218, 9, 19, 20syl3anc 1324 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌) ↔ ((𝑝𝑍𝑝𝑌) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑍𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
227, 18, 213imtr4d 283 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑋) → 𝑝 ∈ (𝑍 + 𝑌)))
2322ssrdv 3601 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌))
2423ex 450 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑍 + 𝑋) ⊆ (𝑍 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  wss 3567   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  lecple 15929  joincjn 16925  Atomscatm 34369  +𝑃cpadd 34900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-padd 34901
This theorem is referenced by:  paddss12  34924  pmod1i  34953
  Copyright terms: Public domain W3C validator